对三维点集的归一化变换

1. 前言

昨天处理实验室的数据，处理了整整一天， 都没有出来理想的结果， 后来调试发现， 出现了两个问题：
1. 非线性优化中传入的计算参数传错了。
2. 程序中使用各项同性的归一化方法出来的结果， 比非各项同性归一化出来的结果明显要好。

2. 归一化变换

在计算 2D 单应矩阵 H 的时候， 一定存在某些坐标系表示的方式明显优于其他坐标系， 对于3D 空间中的数据变化计算他们之间的 H=(R0TT1) 也有类似的特性， 我们下面按照2D 空间变化进行讨论。

2.1 各向同性缩放 2D

1. 每幅图像中的坐标进行平移， 使得点集的形心移动至原点
2. 对坐标系进行缩放， 使得点中 x=(x,y,w)T 中的 x , y, w 总体上有一样的平均值， 选用一个各向同性的缩放因子， 使得一个点的 坐标等量缩放， 我们令 平均点为 (1,1,1)T, 此时缩放因子使得x 到 原点距离为 2√ 。 同理， 如果是3D 点， 平均点应该为 (1,1,1,1)T , 此时， x 到原点的距离应该为 (√3)

2.2 归一化变换的意义

数据归一化， 可以提高结果的精度， 同时， 归一化算法对于任何尺度缩放和坐标原点的选择都是不变的。
我们可以这样去理解： 归一化为测量数据选择了有效的标准坐标系， 预先消除了坐标变换的影响。因此， 在做类似DLT 的相关运算的时候， 代数最小化的过程其实是在一个固定的标准坐标系下进行的， 从而， DLT 算法实际上关于相似变换是不变的。
数据归一化的过程在类似 DLT 的算法中的效果是实质性的， 不能不要视他为可有可无的。

2.3 非各向同性缩放

理论上， 我们也可以进行非各向同性的归一化方法， 效果是不会比各向同性的缩放有显著提高。可是，我们这里的效果不是提高了， 而是下降了， 鉴于这个结果， 我们还是最好就采用各项同性的归一化方法好了。

2.4 归一化变换code

%% 实验室师兄的版本
function [T] = normalize(w)
    % 变换目标：中心在原点且到原点的平均距离为sqrt(3)
    if  size(w,1)<size(w,2)
        w = w';
    end
    t = -mean(w(:,1:3),1);
    w = w(:,1:3) + repmat(t,[size(w,1),1]);
    dis = mean(sqrt(w(:,1).*w(:,1)+w(:,2).*w(:,2)+w(:,3).*w(:,3)));
    v = sqrt(3)/dis;
    t = t'*v;
    T = [eye(3)*v,t];
    T = [T;0,0,0,1];
end

%% normalize A 我的版本
function [T] = normalize(A)
     assert(size(A, 1) == 4, 'A should be 4 x n')
     mean_A = mean(A,2);
     remain = A - repmat(mean_A, [1, size(A, 2)]);
     remain_pt = remain(1:3, :);
     dis = mean(sqrt(remain_pt(1, :).*remain_pt(1, :) + remain_pt(2, :).*remain_pt(2, :) + remain_pt(3, :).*remain_pt(3, :)));
     diag_diag_T_A = repmat(sqrt(3)/dis, [3, 1]);
     T_A = diag([diag_diag_T_A ;1])*...
        [1 0 0 -mean_A(1)
         0 1 0 -mean_A(2)
         0 0 1 -mean_A(3)
         0 0 0 1];
end