MA滑动平均模型
与 A R AR AR模型不同， M A MA MA模型并非是历史时序值的线性组合，而是历史白噪声的线性组合，移动平均过程总是平稳的，因为它是白噪声的线性组合。
{ x t = μ + ε t − ∑ i = 1 q θ i ε t − i θ q ≠ 0 E ( ε t ) = 0 , V a r ( ε t ) = σ 2 , E ( ε t ε s ) = 0 , s ≠ t \left\{ \begin{aligned} & x_t = \mu + \varepsilon_t - \sum_{i=1}^q \theta_{i} \varepsilon_{t-i} \\ & \theta_q \neq 0 \\ & E(\varepsilon_t)=0,Var(\varepsilon_t)=\sigma^2,E(\varepsilon_t \varepsilon_s)=0,s\neq t \\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧xt=μ+εt−i=1∑qθiεt−iθq=0E(εt)=0,Var(εt)=σ2,E(εtεs)=0,s=t
限制条件
- θ q ≠ 0 \theta_q \neq 0 θq=0，确保模型的最高阶数为 q q q；
- E ( ε t ) = 0 , V a r ( ε t ) = σ 2 , E ( ε t ε s ) = 0 , s ≠ t E(\varepsilon_t)=0,Var(\varepsilon_t)=\sigma^2,E(\varepsilon_t \varepsilon_s)=0,s\neq t E(εt)=0,Var(εt)=σ2,E(εtεs)=0,s=t，保证随机序列为白噪声序列。
通常默认限制条件，模型简记为：
x t = μ + ε t − ∑ i = 1 q θ i ε t − i x_t = \mu + \varepsilon_t - \sum_{i=1}^q \theta_{i} \varepsilon_{t-i} xt=μ+εt−i=1∑qθiεt−i
统计性质
- 常数均值
E ( x t ) = E ( μ + ε t − ∑ i = 1 q θ i ε t − i ) = E ( μ ) + E ( ε t ) − ∑ i = 1 q θ i E ( ε t − i ) = μ \begin{aligned} E(x_t) &= E(\mu + \varepsilon_t - \sum_{i=1}^q \theta_{i} \varepsilon_{t-i}) \\ &= E(\mu) + E(\varepsilon_t) - \sum_{i=1}^q \theta_i E(\varepsilon_{t-i}) \\ &= \mu \end{aligned} E(xt)=E(μ+εt−i=1∑qθiεt−i)=E(μ)+E(εt)−i=1∑qθiE(εt−i)=μ
- 常数方差
V a r ( x t ) = V a r ( μ + ε t − ∑ i = 1 q θ i ε t − i ) = V a r ( μ ) + V a r ( ε t ) + ∑ i = 1 q θ i 2 V a r ( ε t − i ) = 1 + ∑ i = 1 q θ i σ 2 \begin{aligned} Var(x_t) &= Var(\mu + \varepsilon_t - \sum_{i=1}^q \theta_{i} \varepsilon_{t-i}) \\ &= Var(\mu) + Var(\varepsilon_t) + \sum_{i=1}^q \theta_i^2 Var(\varepsilon_{t-i}) \\ &= 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i \sigma^2 \end{aligned} Var(xt)=Var(μ+εt−i=1∑qθiεt−i)=Var(μ)+Var(εt)+i=1∑qθi2Var(εt−i)=1+i=1∑qθiσ2
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自协方差函数只与滞后阶数相关，且 q q q阶截尾
γ k = E ( x t x t − k ) = { 1 + ∑ i = 1 q θ i 2 σ ε 2 , k = 0 ( − θ k + ∑ i = 1 q − k θ i θ k + i ) σ ε 2 , 1 ≤ k ≤ q 0 , k > q \gamma_k = E(x_t x_{t-k})=\left\{ \begin{aligned} & 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i^2 \sigma_{\varepsilon}^2, &k =0 \\ & (-\theta_k + \sum_{i=1}^{q-k}\theta_i \theta_{k+i}) \sigma_{\varepsilon}^2, &1 \le k \le q \\ & 0,&k>q \end{aligned} \right. γk=E(xtxt−k)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1+i=1∑qθi2σε2,(−θk+i=1∑q−kθiθk+i)σε2,0,k=01≤k≤qk>q
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自相关系数 q q q阶截尾
ρ k = γ k γ 0 = { 1 , k = 0 ( − θ k + ∑ i = 1 q − k θ i θ k + i ) 1 + ∑ i = 1 q θ i 2 , 1 ≤ k ≤ q 0 , k > q \rho_k = \frac{\gamma_k}{\gamma_0}=\left\{ \begin{aligned} & 1 , &k =0 \\ & \frac{(-\theta_k + \sum_{i=1}^{q-k}\theta_i \theta_{k+i})}{1+\sum_{i=1}^q \theta_i^2}, &1 \le k \le q \\ & 0,&k>q \end{aligned} \right. ρk=γ0γk=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧1,1+∑i=1qθi2(−θk+∑i=1q−kθiθk+i),0,k=01≤k≤qk>q
定阶
q q q阶 M A MA MA模型的自相关系数是 q q q阶截尾的，这意味着可以通过计算样本自相关系数来确定 M A MA MA模型的阶数。
预测
设预测原点为 h h h， F h F_h Fh为在 h h h时刻所能获得的信息集， x ^ h ( l ) \hat{x}_h(l) x^h(l)表示在 h h h时刻向前 l l l步预测， ε h ( l ) \varepsilon_{h}(l) εh(l)表示预测误差。
x h + l = μ + ε h + l − ∑ i = 1 q θ i ε h + l − i x ^ h ( l ) = μ − ∑ i = 1 q θ i E ε h + l − i \begin{aligned} x_{h+l} &= \mu + \varepsilon_{h+l}- \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{h+l-i}\\ \hat{x}_h(l) &= \mu - \sum_{i=1}^q \theta_i E\varepsilon_{h+l-i} \end{aligned} xh+lx^h(l)=μ+εh+l−i=1∑qθiεh+l−i=μ−i=1∑qθiEεh+l−i
E ε h + l − i = { 0 , l − i > 0 ε h + l − i , l − i ≤ 0 E \varepsilon_{h+l-i}=\left\{ \begin{aligned} & 0 , & l-i > 0 \\ & \varepsilon_{h+l-i}, & l - i \le 0\\ \end{aligned} \right. Eεh+l−i={0,εh+l−i,l−i>0l−i≤0
解释： h + t ( t > 0 ) h+t(t>0) h+t(t>0)时刻的随机干扰误差是未知的，根据其假定白噪声条件有 E ( ε h + t ) = 0 E(\varepsilon_{h+t})=0 E(εh+t)=0，而当前时刻 h h h及其之前时刻的随机误差是已知的，因此 E ( ε h + t t < = 0 ) = ε h E(\varepsilon_{h+t} t <=0)=\varepsilon_{h} E(εh+tt<=0)=εh。
性质：对于一个 M A ( q ) MA(q) MA(q)模型，向前 q q q步以后的预测就达到了模型的均值。
王燕.应用时间序列分析[M].中国人民大学出版社.201907
