奇异谱分析(SSA)的matlab实现
SSA
- 前言
- 一、SSA(Singular Spectrum Analysis)
- 二、代码实现及案例展示
- 总结
前言
奇异谱分析（SSA）是主成分分析的一个特例，它特别适用于分析一维时间序列，能有效的提取时间序列中的趋势项、周期项、半周期项等有用信息，也可以实现数据的去噪、插值和外推等，是应用极为广泛的一种时间序列分析方法。这里将SSA实现的过程进行总结：
一、SSA(Singular Spectrum Analysis)
SSA作为一种应用广泛的算法，网上已经有了很多详细的资料可以参考，这里将步骤进行简单总结。
（1）构建轨迹矩阵
选择合适的窗口长度M，M的选取依照经验应该在区间(1,N/2)内，并且最好为周期的整数倍，这里N是一维时间序列的长度，构建的形式如下：
原始序列： X i = [ X 1 , X 2 , X 3 , … , X n ] X_i = \left[ X_1,X_2,X_3,{\ldots} ,X_n \right] Xi=[X1,X2,X3,…,Xn]
轨迹矩阵： X M K = [ X 1 , X 2 , X 3 , … , X K ] = [ X 1 X 2 … X N − M + 1 X 2 X 3 … X N − M + 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ X M X M + 1 … X N ] X_{MK} = \left[ X_1,X_2,X_3,{\ldots} ,X_K \right] \\ \qquad\qquad\qquad\ \ \ \ = \begin{bmatrix} X_1&X_2&{\ldots} &X_{N-M+1}\\ X_2&X_3&{\ldots} &X_{N-M+2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ X_M&X_{M+1}&{\ldots} &X_N \end{bmatrix} XMK=[X1,X2,X3,…,XK] =⎣⎢⎢⎢⎡X1X2⋮XMX2X3⋮XM+1……⋱…XN−M+1XN−M+2⋮XN⎦⎥⎥⎥⎤
其中： K = N − M + 1 K = N-M+1 K=N−M+1
(2)奇异值分解
构造矩阵S，然后对S进行SVD分解，获得S的特征值E和特征向量U，E是对角阵要按从大到小的顺序排列。
S M M = X M K ∗ X K M T = U M M E M M V 1 S_{MM} = X_{MK} * X^T_{KM} = U_{MM}E_{MM}V_1 SMM=XMK∗XKMT=UMMEMMV1
求轨迹矩阵X对应的V值，其中d为X的秩：
V d m ⟹ V i = X T ∗ U i / E ( i , i ) ( i = 1 , 2 , … , d ) V_{dm}\ \ \ {\Longrightarrow}\ \ V_i = X^T*U_i/\sqrt {E(i,i)}\ \ (i=1,2,{\ldots},d) Vdm ⟹ Vi=XT∗Ui/E(i,i) (i=1,2,…,d)
计算对应的d个初等矩阵，轨迹矩阵可以由d个初等矩阵X_i线性表示：
X 轨 迹 = ∑ 1 d X i X_{轨迹} ={ \sum_1^dX_i} X轨迹=1∑dXi
X i = λ i U i / V i T λ i = E ( i , i ) X_i =\sqrt { \lambda_i}U_i/V_i^T\ \ \ \ \ \lambda_i=\sqrt {E(i,i)} Xi=λiUi/ViT λi=E(i,i)
(3)分组重构
初等矩阵的维度和轨迹矩阵的维度一样，因此可以重构出d个一维矩阵，表示原始一维序列的趋势项、周期项、噪声等信号，从而实现对有用信号的分离。重构原理公式如下：
y i = { 1 i ∑ M = 1 K X M , i − M + 1 1 ≤ i < M 1 M ∑ M = 1 L X M , i − M + 1 M ≤ i < K 1 N − i + 1 ∑ M = i − K + 1 N − K + 1 X M , i − M + 1 K ≤ i < N y_i = \begin{cases} \frac {1}{i}\displaystyle \sum^{ K}_{M = 1}{X_{M,i-M+1} \qquad\qquad\qquad 1\leq{i}\lt{M}}\\ \frac {1}{M}\displaystyle \sum^{ L}_{M = 1}{X_{M,i-M+1} \qquad\qquad\quad\ \ M\leq{i}\lt{K}}\\ \frac {1}{N-i+1}\displaystyle \sum^{N-K+1}_{M = i-K+1}{X_{M,i-M+1} \qquad K\leq{i}\lt{N}} \end{cases} yi=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧i1M=1∑KXM,i−M+11≤i<MM1M=1∑LXM,i−M+1 M≤i<KN−i+11M=i−K+1∑N−K+1XM,i−M+1K≤i<N
重构之后根据需要进行分组，将具有相同信号的y进行合并，分组可以依据加权相关（w-correlation）图进行划分，可以得到趋势项、周期项、半周期项等有用信号，也可以根据贡献率对数据进行去噪。
上面是奇异谱分析的原理简述仅供参考，可能有错误、缺失或其他问题。
二、代码实现及案例展示
主程序：
%% 奇异谱分析
clc;
clear;
y = [1.0135518 , -0.7113242 , -0.3906069 , 1.565203 , 0.0439317 , -1.1656093 ,...
1.0701692 , 1.0825379 , -1.2239744, -0.0321446, 1.1815997 , -1.4969448,...
-0.7455299 , 1.0973884 , -0.2188716 , -1.0719573 , 0.9922009 , 0.4374216 ,...
-1.6880219 , 0.2609807,1.0135518 , -0.7113242 , -0.3906069 , 1.565203 , 0.0439317 , -1.1656093 ,...
1.0701692 , 1.0825379 , -1.2239744, -0.0321446, 1.1815997 , -1.4969448,...
-0.7455299 , 1.0973884 , -0.2188716 , -1.0719573 , 0.9922009 , 0.4374216 , -1.6880219 , 0.2609807 ];
n = length(y); %测试数据长度40
l = 10; %输出窗口长度L
[y1,lamuda]=SSA_function(y,n,l); %进行奇异谱分析得到L个初等矩阵
ref = 0.95;
[x] = Contribution_rate(lamuda,l,ref); %根据贡献率选择重构阶数，阈值根据需求设置
[coll] = w_collelation(y1,l,n); %权相关分析得到w-correlation图
figure(1)
heatmap(coll);
yout = zeros(1,n);
for i=1:x
yout(1,:) = yout(1,:) + y1(i,:);
end
figure(2)
plot(1:n,y,'-r',1:n,yout,'-g')
%% 输出趋势项
prompt = '趋势项阶数: '; %根据w-collelation图输入重构阶数
x = input(prompt); %根据权重图选择要重构信号
yout = zeros(1,n);
for i=1:x
yout(1,:) = yout(1,:) + y1(i,:);
end
figure(3)
plot(1:n,yout,'-r')
%% 输出周期项
prompt = '输出周期项: '; %根据w-collelation图输入重构阶数
x2 = input(prompt); %根据权重图选择要重构信号
yout = zeros(1,n);
for i=x+1:x2
yout(1,:) = yout(1,:) + y1(i,:);
end
figure(4)
plot(1:n,yout,'-g')
%% 输出半周期项
%prompt = '输出半周期项: '; %根据w-collelation图输入重构阶数
%x3 = input(prompt); %根据权重图选择要重构信号
%yout = zeros(1,n);
%for i=x2+1:x3
% yout(1,:) = yout(1,:) + y1(i,:);
%end
%figure(4)
%plot(1:n,yout,'-g')
相关函数
%% 奇异谱分析函数
%x 原始时间序列；n一维时间序列x的维度；l窗口长度(为周期的整数倍，不超过n/2)
% 返回的y的维度是[窗口长度l*序列长度n],表示l个初等矩阵；
function [y,lamuda]=SSA_function(x,n,l)
% Step1 : 建立时滞矩阵
k1=n-l+1;
X2=zeros(l,k1);
for i=1:k1
X2(1:l,i)=x(i:l+i-1);
end
% Step 2: 奇异值分解
x3=X2*X2';
[U,S,V] = svd(x3);
for i=1:l
V1(:,i) = X2'*U(:,i)/sqrt(S(i,i));
end
%初等矩阵重构得到l个时间序列；
y = zeros(l,n);
Lp=min(l,k1);
Kp=max(l,k1);
for i=1:l
xi = sqrt(S(i,i)) * U(:,i) * V1(:,i)';
y1=zeros(n,1);
for k=0:Lp-2
for m=1:k+1
y1(k+1)=y1(k+1)+(1/(k+1))*xi(m,k-m+2);
end
end
%重构 Lp~Kp
for k=Lp-1:Kp-1
for m=1:Lp
y1(k+1)=y1(k+1)+(1/(Lp))*xi(m,k-m+2);
end
end
%重构 Kp+1~N
for k=Kp:n-1
for m=k-Kp+2:n-Kp+1
y1(k+1)=y1(k+1)+(1/(n-k))*xi(m,k-m+2);
end
end
y(i,:) = y1(:,1);
end
%将特征值输出一列
%lamuda = zeros(l,1)
for i = 1:l
lamuda(i,1) = S(i,i);
end
end
%% 权相关
function [coll] = w_collelation(y,l,n)
k = n-l+1;
coll = zeros(l,l);
for i =1:l
for j =1:l
if l= 1 && h= l && h= k && h<=n
w = n-h+1;
end
xfc = xfc + w*y(i,h)*y(j,h);
xfx = xfx + w *y(i,h)^2;
xfy = xfy + w * y(j,h)^2;
end
coll(i,j) = xfc/(sqrt(xfx)*sqrt(xfy));
end
end
end
end
%% 计算奇异值的贡献率
function [n,array2] = Contribution_rate(lamuda,l,ref) %输入奇异值、窗口长度、阈值(0,1)
sum1 = sum(lamuda(:));
for i=1:l
sum2 = sum(lamuda(1:i));
num = sum2/sum1;
array2(i) = num;
if num >= ref
n = i;
break
end
end
end
案例运行结果
原始序列（红线）和0.95贡献率下的重构（绿线）
w-correlation
趋势项
周期项
半周期项
总结
这是关于SSA自己的一些简单理解，实现过程参考了网上的一些资料，过程可能有错误自行斟酌吧。。