最大子序列和Kadane算法及其证明

最大子序列和Kadane算法及其证明

问题描述

力扣上有一个经典的题目53. Maximum Subarry，题目描述如下。
Given an integer array nums, find the subarray with the largest sum, and return its sum.

思路

1. brute force: 双重循环，第一层循环遍历选择每一个点作为subarray的起点，第二层循环遍历选择之后每一个点作为subarray的终点。这个算法时间复杂度是$O(N^2)$。明显不理想。
2. 优化思路：如何一次循环就可以找到最大的subarray呢？处理这个问题的关键就在于，取什么点作为起点。
   为什么取什么点作为终点不是问题的关键呢？因为在一次循环中，每一个点都会被作为终点使用到。

思考如何取起点：假设我们当前取的subarray是$Array[i,j]$（下标从i到j-1的数组）。如果将终点向后移动一位，得到$Array[i,j+1]$，什么情况下会这个子数组是一定不考虑的答案呢？那就是当$Array[i,j]<0$。因为$Array[i,j]+nums[j]<nums[j]$。所以我们就从j开始作为起点，然后向后依次取终点计算和。

Kadane’s Algorithm

这也就是Kadane算法。维基百科中给出的代码是：

def max_subarray(numbers):
    """Find the largest sum of any contiguous subarray."""
    best_sum = 0
    current_sum = 0
    for x in numbers:
        current_sum = max(x, current_sum + x)
        best_sum = max(best_sum, current_sum)
    return best_sum

我们可能有一个疑问：为什么$Array[i,j]<0$那就把所有i到j-1都不作为起点的考虑呢？

给出简单证明：
假设$Array[i,j]<0$且有$Array[k,j]>0,i<k<j$。
那么，$Array[i,k]<0$。
但是任何和小于0的subarray都不会和后面的subarray合并。
所以这个假设不成立。

代码

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int maxSubarray = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            int currentSubarray = 0;
            for (int j = i; j < nums.length; j++) {
                currentSubarray += nums[j];
                maxSubarray = Math.max(maxSubarray, currentSubarray);
            }
        }
        
        return maxSubarray;
    }
}

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        max_subarray = -math.inf
        for i in range(len(nums)):
            current_subarray = 0
            for j in range(i, len(nums)):
                current_subarray += nums[j]
                max_subarray = max(max_subarray, current_subarray)
        
        return max_subarray

Time Complexity: $O(N)$
Space Complexity: $O(1)$