样条曲线（参数曲线）曲率

曲率计算公式

设参数曲线C(u):
$$C(u)=(x(u),y(y),z(u))$$

曲线曲率表达为：
$$k(u)=\frac{|C^{{}^{\prime }}(u)\times C^{{}^{\prime \prime }}(u)|}{|C^{{}^{\prime }}(u){|}^3}(1)$$

其中：
$$\begin{array}{rl}& C^{{}^{\prime }}(u)为一阶导数\\ & C^{{}^{\prime \prime }}(u)为二阶导数\\ & C^{{}^{\prime }}(u)\times C^{{}^{\prime \prime }}(u)为一阶导数和二阶导数的叉乘\end{array}$$

叉乘公式

设置两个向量：
$$\begin{array}{rl}一阶导数：& \mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1)\\ 二阶导数：& \mathbf{b}=(x_2,y_2,z_2)\\ & \mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|=(x_3,y_3,z_3)=(2)\\ & =(y_1{z}_2-y_2{z}_1)i-(x_1{z}_2-x_2{z}_1)j+(x_1{y}_2-x_2{y}_1)k![\end{array}$$

3-D曲线曲率计算

计算三次样条曲线曲率：
$$\begin{array}{rl}& C^{{}^{\prime }}(u)=(x_1,y_1,z_1)\\ & C^{{}^{\prime \prime }}(u)=(x_2,y_2,z_2)\\ & |C^{{}^{\prime }}(u)|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\\ & \\ & 由公式(2)得：\\ & |C^{{}^{\prime }}(u)\times C^{{}^{\prime \prime }}(u)|=\sqrt{x_3^2+y_3^2+z_3^2}\end{array}$$

2-D曲线曲率计算

2-D曲线的曲率计算时，依然可以使用前文使用的公式，此时，设置z坐标值为0即可：
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{a}=(x_1,y_1,0)\\ & \mathbf{b}=(x_2,y_2,0)\\ & \mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_1& y_1& 0\\ x_2& y_2& 0\end{array}\right|=(x_3,y_3,z_3)=(3)\\ & \\ & =0i-0j+(x_1{y}_2-x_2{y}_1)k\\ 则：& \\ & |C^{{}^{\prime }}(u)\times C^{{}^{\prime \prime }}(u)|=\sqrt{(x_1{y}_2-x_2{y}_1{)}^2}(4)\end{array}$$
现在考虑参数方程：
$$C(u)=\{\begin{array}{l}x(u),\\ y(u)\end{array}$$
由高等数学知识得到：
$$\begin{gathered} K=\frac{|x^{{}^{\prime }}(u)y^{{}^{\prime \prime }}(u)-x^{{}^{\prime \prime }}(u)y^{{}^{\prime }}(u)|}{|x^{{}^{\prime }2}(u)+y^{{}^{\prime }2}(u){|}^{\frac{3}{2}}} \\ 变量带入分子即为：\sqrt{(x_1{y}_2-x_2{y}_1{)}^2},与公式(3)(4)得到的结果一致. \end{gathered}$$

数学就是这么奇妙啊!!!

方法验证–3次B-Spline曲线

n = 12 #n+1个控制点
p = 3  #3次yB-Spline曲线
m = n+p+1 #m+1个参数节点
knots = [0,0,0,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,1,1,1]
x = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]  #控制点坐标
y = [1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1]

结果如下：