【数学】数学概念

一、命题逻辑的基本概念

命题是陈述句，不能是感叹句、疑问句、祈使句。

命题有真值，不能是悖论。悖论可由真推出假，由假推出真。

自然语言联结词有歧义、有文字游戏，因此要严格定义并化为符号联结词。

括号的优先级高于否词。

合式公式就是合法的公式。

若公式A的层次为k，则A是k层公式。

因为有变项因此真值不定，常项代替变项（例如代入具体文字）叫解释，就有了确定的真值，因此它也是赋值，可以赋真值也可以赋假值。因为解释就是赋值，所以用赋值代替解释。

各种赋值都真那么是永真式（重言式），反之永假式（矛盾式）。如果不是矛盾式，那么至少有一个真值，那么它叫做可满足式。如果它是可满足式但不是永真式（重言式），那么叫做非重言式的可满足式。

哑元：A，B共有很多变项，而A或B并不全含这些变项，则这些不含的变项叫哑元。哑元dummy variables。又称虚设变量、名义变量或哑变量,用以反映质的属性的一个人工变量,是量化了的自变量,通常取值为0或1。

二、命题逻辑等值演算

AB两个公式等价，记作⇔ 。该符号是元语言符号，不能与←→、=混合。

三、序与格

偏序关系：设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、反对称的、反传递的，则称R为A上的偏序关系。记作≤。例：如果∈≤，记作x≤y，读作x小于等于y。此处的小于等于不是指数据的大小，而是偏序关系中的顺序。

格：为偏序集，如果∀x，y∈s，｛x，y｝都有最小上界和最大下界，则称s关系于偏序≤作成一个格。用x∨y表最小上界、x∧y表最大下界。

四、逻辑四论之可计算性理论（递归论）

希尔伯特判定问题：对于一阶逻辑中的任意语句A，B，它能判定是否可由A逻辑推出B。

解题：

（1）丘奇引入兰姆达函数（即匿名函数）。

（2）图灵引入图灵机，定义图灵可计算函数。

（3）哥德尔在证不完全性定理时引入递归函数。

（4）哥德尔和克林引进部分递归函数。

五、进制计数法和罗马计数法

进制计数法在计算机领域的实质是算权重。例如设一个三位数abc，它的实质是a*100+b*10+c*1。权重思维在水仙花数的例子里体现得非常明显。

罗马计数法的特征如下：数位没有意义，只表示数字本身。没有0（也有说法认为0用N表示）。

进制转换代码：

switch_dic=dict(I=1, V=5 ,X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000)
num_ch=input()
sum_num=0
for i in range(len(num_ch)-1):
    if switch_dic[num_ch[i]]

六、印度数学之结网计数法

结网计数法认为，乘法的实质是交点的数量。

例题：112*231

把第一个数112记为左斜线，即从左上画起，最左边画1根，中间画1根，右边画2根，代表百位、十位、个位。第二个数231记为右斜线，从左下画起，画法同上。然后竖着数交点个数，就是最终答案25872。