Dirac-Delta函数

1. 广义函数

1.1 广义函数的概念

自然科学的发展表明, 古典的函数概念是不够的, 或是不完全适合的。于是, 广义函数 论随之兴起。广义函数包括通常的函数在内, 甚至更广。它应是无限次可导和自由地进 行极限交换这一节我们介绍广义函数的大意。

首先介绍工程技术中常用的 $\delta$ 函数。设想在无限长的细棒上有一质量分布, 只集中在一 点 $x=0$ 处, 总质量为 1 个单位。这意思是说, 有一假象的密度函数 $\delta (x)$, 当 $x\ne 0$ 时, 在 $x=0$, 密度为无限大, 而密度函数的积分为总质量 $1:{\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)dx=1$. 这种假象的函数, 已超出了通常 函数概念的框架。试想, 一个仅在一点不为零的函数, 是几乎处处为零的, 其积分应当是 0 , 怎么可能是 1 呢? 这类 $\delta (x)$ 在工程里常常遇到, 例如无线电工程中考察脉冲, 在极短的一个 时间内爆发出一个能量的信号, 合上述质量的类型相似。

从 $\delta (x)$ 的性质, 还可以形式地认为, 对一切连续函数 $\phi (x)$ 应有 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\phi (x)dx=\phi (0)$, 这 可由下式看出:
$$\begin{array}{r}\left|{\int }_{-\infty }^{+\infty }(\phi (x)-\phi (0))\delta (x)dx\right|=\left|{\int }_{-\epsilon }^{+\epsilon }(\phi (x)-\phi (0))\delta (x)dx\right|\\ \le {\max }_{|x|\epsilon }|\phi (x)-\phi (0)|{\int }_{-\epsilon }^{+\epsilon }\delta (x)dx={\max }_{|x|\epsilon }|\phi (x)-\phi (0)|\to 0(\epsilon \to 0).\end{array}$$
请读者注意, 因为 $\delta (x)$ 是假想函数, ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)dx$ 的意义上尚不清楚, 上面的推论只是形式上的说明和假想的推论, 不能算作定义。我们下面的任务是要给广义函数 (包括这种 $\delta (x)$ 给于一 种严格的数学定义。它的基本数学思想是: 由 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\phi (x)dx=\phi (0)$, 可以认为 $\delta (x)$ 是连续函数 空间上的连续线性泛函。这启发我们, 如果把连续函数空间进一步缩小, 收敛性进一步加强, 那么这个连续空间上的线性泛函一定更多, 我们不妨把它们称为广义函数。

1.2 广义函数的定义

定义1（基本空间） 设G是$-\infty <x<\infty$上无限次可微且在某有限区间以外为0的函数全体。按照通常的加法和数乘，它成为线性空间，在其中定义极限概念如下：设${\phi }_n,\phi \in G$，若
（1）存在一个与n无关的公共有限区间[a,b]，使${\phi }_n$在[a,b]外为0，n=1,2,…;
（2）在$-\infty <x<\infty$对每一非负整数q，函数列${\phi }_n^{(q)}$，即${\phi }_n$的q阶导数一致收敛于${\phi }^{(q)}$。
则称${\phi }_n$在G中收敛于$\phi$,记为${\phi }_n\to \phi$, G称为基本空间.

注：空间G的这种收敛性不能容纳在距离空间的收敛性之中，即我们无法定义一个距离d，使${\phi }_n\to \phi$等价于$d({\phi }_n,\phi )\to 0$。 .

定义2（广义函数） G上的连续线性泛函 $f$ 称为广义函数，记为$f(\phi )$，或$(f,\phi )$。

示例

例1 局部可积函数是广义函数.
Def 我们把在任何区间上都L可积的函数称为局部可积函数，其全体记为$L^{\ast }$。设$f\in L^{\ast }$，利用$f$定义一个G上的连续线性泛函$T(f)$：对任何$\phi \in G$，${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\phi (x)dx$。由于$\phi (x)$，在某有限区间外为0, 故上述积分有意义。
Pf：$T(f)$显然是G上连续线性泛函，且是一一映射，即如果$f\in L^{\ast }$且${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\phi (x)dx=0$对一切$\phi \in G$成立，则$f(x)=0$ a.e.于R。这样，局部可积函数就可以一对一地嵌入 G上连续线性泛函空间，作为它的一部分。

例2 Dirac-Delta函数
现在我们可以给本节开始时引进的Dirac-Delta函数一个严格的数学定义。
Def 如果G上的连续线性泛函由下式给定：对一切$\phi \in G$，对应数值$\phi (0)$，称这一泛函为δ，换句话说，对一切$\phi \in G$，有$\delta (\phi )=\phi (0)$，是${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\phi (x)dx=\phi (0)$的严格化。
Pf：δ为G上连续线性泛函不难验证，${\phi }_n\to \phi$这意味着在任何有限区间上各阶导数（包括零阶导数）一致收敛，当然更有${\phi }_n(0)\to \phi (0)$，即$\delta ({\phi }_n)\to \delta (\phi )$。

1.3 广义函数的导数

按照分部积分法，对通常的一阶连续可导函数f(x)，$\phi \in G$：$(f^{{}^{\prime }},\phi )=-(f,{\phi }^{{}^{\prime }})$
Def 定义广义函数$f$的导数$f^{\prime }$：$(f^{{}^{\prime }},\phi )=-(f,{\phi }^{{}^{\prime }})$

定理：$f^{\prime }$是广义函数

Pf ：等价于证明$f^{\prime }$是连续线性泛函。由于φ无限次可微的，$(f,{\phi }^{{}^{\prime }})$有意义，而且${\phi }_n\to \phi$意味着各阶导数都一致收敛于相应导数，自然也有${\phi }_n^{\prime }\to {\phi }^{\prime }$，所以由$(f,{\phi }^{{}^{\prime }})$是连续线性泛函知$(f^{{}^{\prime }},\phi )$也是连续线性泛函。同样可定义二阶以至任意阶的导数。

基本空间中函数的优良性质就能够转移到广义函数上。

性质（微分运算和极限运算的可交换性）：定义$F_n\to F(n\to \infty )$为$\left(F_n,\phi \right)\to (F,\phi )(n\to \infty )$对一切$\phi \in \theta$成立，那么微分运算和极限运算的交换是显然的：
$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }\left(F_n^{\prime },\phi \right)& =\underset{n\to \infty }{\lim }\left(-\left(F_n,{\phi }^{\prime }\right)\right)=-\underset{n\to \infty }{\lim }\left(F_n,{\phi }^{\prime }\right)=-\left(F,{\phi }^{\prime }\right)\\ & =\left(F^{\prime },\phi \right)={\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_n\right)}^{\prime },\phi )\end{array}$

2. Dirac-Delta函数

Dirac-Delta函数或简称δ函数（译名德尔塔函数、得耳他函数）在除零以外的点上都等于零，且其在整个定义域上的积分等于1。这不是一个严格意义上的函数，因为任何在扩展实数线上定义的函数，如果在一个点以外的地方都等于零，其总积分必须为零。

狄拉克δ函数或简称δ函数是在实数线上定义的一个广义函数或分布。只有在出现在积分以内的时候才有实质的意义。根据这一点，δ函数一般可以当做普通函数一样使用。它形式上所遵守的规则属于运算微积分的一部分，是物理学和工程学的标准工具。

δ函数可以定义为分布或测度。

2.1 测度视角

δ函数的测度定义：作为一个测度，δ函数取一个实线R的子集A，当0 ∈ A时输出δ(A) = 1，否则δ(A) = 0。如果把δ函数想象成位于0的一个理想化的质点，则δ(A)代表集合A所包含的质量。
推广： 狄拉克测度这个概念可以定义在任何集合上。设 $X$ 是集合, $x_0\in X,\Sigma$ 为 $X$ 子集上的任何 $\sigma$ 代数, 则对每个集合 $A\in \Sigma$ 可以定义测度:
$${\delta }_{x_0}(A)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }{x}_0\in A\\ 0& \text{ if }{x}_0\notin A\end{array}$$
这就是单位质量集中在 $x_0$ 处的狄拉克测度。

函数相对于δ积分 测度定义：一个函数相对于δ的积分便可以定义为相对于这个测度的勒贝格积分。对于所有连续紧支撑函数f，这一积分满足：${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (dx)=f(0)$（由1.1节可得）

性质：测度δ相对于勒贝格测度不绝对连续，即存在E，L(E)=0，而$\delta (E)\ne 0$。它其实是一个奇异测度。因此，它并不具有拉东-尼科迪姆导数，也就是不存在满足以下条件的函数δ(虽然这种写法仍非常常见，但是它实际上只是一种方便的记号，而不是任何有良好定义的（黎曼或勒贝格）积分。)：${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)dx=f(0)$

Dirac测度的分布函数定义：作为 $R$ 上的概率测度, 狄拉克测度可以通过它的累积分布函数一单位阶跃函数一来定义:
$$H(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }x\ge 0\\ 0& \text{ if }x<0\end{array}$$
换句话说, $\mathrm{H}(\mathrm{x})$ 是积累指示函数 $1_{(-\infty ,\mathrm{x}]}$ 相对于测度 $\delta$ 的积分:
$$H(x)={\int }_{\mathbf{R}}{1}_{(-\infty ,x]}(t)\delta \{dt\}=\delta (-\infty ,x].$$
粜数相对于一个连续函数的积分可以通过黎曼 $-$ 斯蒂尔杰斯积分严格定义:
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\delta \{dx\}={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dH(x).$$
$\delta$ 函数的所有更高矩都是零。其特征函数和矩母函数都等于 1 。

2.2 分布视角

在分布理论中，一个广义函数并不像普通函数一样直接定义，而是在它相对其他函数积分的时候，以它如何影响这一积分来定义。沿着这条思路，只须定义δ函数相对某个足够“良好”的测试函数的“积分”就足够了。如果δ函数已经定义为测度，则这种积分可以是测试函数相对于这δ测度的勒贝格积分。

测试函数空间一般可包括所有R上的紧支撑光滑函数。作为一个分布，δ函数是在测试函数空间上的线性泛函，定义为$\delta (\phi )=\phi (0)$。

δ函数是分布
若要使δ成为一个正式的分布，它必须要在测试函数空间上相对某个合适拓扑为连续的

定理（分布的等价条件）：在测试函数空间上的线性泛函S要能够良好定义一个分布，其必要和充分条件是，对于每个正整数N，有整数$M_N$和常数$C_N$，使得对每个测试函数φ，以下不等式都成立：
$|S[\phi ]|\le C_N{\sum }_{k=0}^{M_N}{\sup }_{x\in [-N,N]}\left|{\phi }^{(k)}(x)\right|$

当S就是δ分布时，$C_N$ = 1，$M_N$ = 0对于所有N，就能满足这条不等式。因此，δ是级数为零的分布。它也是一个紧支撑分布，其支撑集是{0}