0.2 控制系统的状态空间表示法

2.1. 状态空间表示法的定义

2.1.1 状态空间表示法的必要性

经典控制理论无法反映系统内部的状态变化

经典控制理论将控制系统当作一个黑匣子；
现代控制理论引入反映系统内部状态变化的状态变量构建系统输入和输出的关系

2.1.2 状态空间表示法的定义

注：这里的$i_c$是不必要的，因为可以由$u_c$表示。

相互独立是指线性无关，电感和电容是储能元件、电阻是耗能原件

可以给出系统的稳定域，观察系统状态轨迹与稳定域边界的距离判断系统的稳定性

状态方程描述了输入与状态之间的关系，输出方程描述输出与两者的关系


将状态空间表达式用方框图表示

2.2. 状态空间表达式的建立方法

一. 根据系统的方框图列写
二. 从系统的基本原理进行推导
三. 根据传递函数或高阶微分方程实现

2.2.1 从系统方框图出发建立状态空间表达式

已知系统方框图建立状态空间表达式，然而一般形式的方框图都含有高阶环节，比如二阶振荡环节、惯性微分环节，然而状态空间表达式的方框图只有比例、积分、加法环节
方框图法的基本步骤

1. 方框图变换，将系统方框图中的各环节变换为只包含比例、积分和加法环节的方框图；
2. 选取状态变量，将每一个积分器的输出选作一个状态变量；
3. 根据方框图各环节的关联关系，列写状态空间表达式；
   
   
   
   
   
   
   
   

2.2.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式

前面的方框图也是由机理推导出来的，要用机理构建状态空间表达式还需要相关的专业知识，比如电力系统的基本知识来构建电力系统状态空间表达式

2.2.3 依据传递函数或高阶微分方程建立状态空间表达式

控制系统的外部描述（传递函数或高阶微分方程）：描述控制系统的外部特征，即描述系统的输入、输出关系。
控制系统的内部描述（状态空间表达式）：不仅可以描述系统的输入输出关系，而且还能够揭示出系统内部各变量的关联关系。

外部描述和内部描述可以相互转换

一. 单输入单输出系统 实现方法一

二. 单输入单输出系统 实现方法二

上面方法是通过设定中间变量选取状态变量，本节按照以下方法选取







方法有无穷多种，而这两种方法可以得到能观、能动标准形，是便于观测器和控制器设计的最简便的方法

总结

2.3. 状态向量的线性变换

同一系统不同状态向量之间必然存在一种线性变换的关系
证明：、为同一系统的两个不同状态向量，但、之间不存在线性变换关系
由、之间不存在线性变换关系，则向量中至少存在一个变量, 不能用向量各分量的线性组合来表示，即独立于向量的各分量。
因为，变量和向量的各分量都是状态变量，故要完全表征系统的动态行为，向量至少还要增加一个分量，即向量z不是系统的状态向量。
反设不成立。同一系统不同状态向量之间必然存在一种线性变换的关系。

线性变换后状态空间的表达式


定义：系统状态空间表达式中系统矩阵A的特征值称为系统的特征值。系统特征值也就是系统矩阵特征方程 − = 0 的根。

由齐次代数方程解的性质，系数矩阵奇异时，有无穷多组非零解。一个特征根，对应于无穷多个特征向量。

2.3.1 对角规范型

当系统的特征值不存在重根时，可以通过非奇异线性变换，将系统矩阵变换为对角规范式

一. 规范型

在对角规范型下，各状态变量间实现了完全解耦，可表示为n个独立的状态变量方程。

二. 标准型

2.3.2 约当规范型

当系统的特征值存在重根时，可以通过非奇异线性变换，将系统矩阵变换为约当规范式




当系统矩阵A的特征值有重根时，通常不可能通过线性变换而实现状态变量之间的完全解耦，约当规范型是可能达到的最简耦合形式。同一特征根、同一约当子块所对应的状态变量之间存才在耦合关系。