经典计算：Lecture3 Boolean Circuits II

2 Boolean circuits

2.3 Basic algorithms. Depth, space and width.

2.3.1Depth

一个Boolean circuit 的 depth 是 circuit 中从任意输入到输出的路径中最大的gate数。
通常在depth 和 size 二者间，有个一个 trade-off。也就是说，一个增大另一个就回相应减少。
depth 的性质：

1. 假设是一个深度为的circuit, 计算了函数。则消除中的多余辅助变量和gate之后，我们可以得到一个size为的circuit。
2. 假设是一个在basis 上的circuit，计算了函数。可以转化为一个等价的formula，且二者的depth相同。
3. (Balanced formula)假设是basis{NOT, AND, OR}上的size为的formula，则它可以转化为相同基上的depth为的formula。
4. 任意的function都可以由depth=3的circuit实现。是现实用到了，且fan-in和fan-out没有限制。
5. The function PARITY is the sum of bits modulo 2。假设这个函数由4中函数形式实现，则它的size是指数的，为。

2.3.2 Basic algorithms

1. 比较
2. 索引
3. 并行计算
4. 加法
5. 乘法
6. 除法
7. Majority
8. Connecting Path

3.3.3 Space and width

如果不考虑circuit的size的话，uniform computation with poly-logarithmic depth（考虑的是circuit） 和 computation with poly-logarithmic space（考虑的是TM） 是等价的。

定义2.2 TM with Oracle X: 设是partial function，一个带有Oracle的图灵机是一个原始的图灵机外加一条only-write(只写)tape，在这个tape上可以写一个字符串，那么在下一步计算的时候，图灵机就可以看到的值。（相当于在中索引取值。）

1. small depth circuits can be simulated in small space.
2. Computation with small space is parallelizable.

上面讨论space时限定在了图灵机的意义下，并没有讨论在circuit的意义下。circuit中与space类似的概念是circuit width。

定义 width: 假设circuit可以排为layers。则width是的层之间传递信息量最大的值，不包括输入变量。

任意的boolean function都可以由一个有限width的circuit实现。所以width的意义不是很大，除非有其他的限定条件。所以通常讨论space时，要在图灵机的意义下讨论。