学习笔记|傅里叶变换

1.傅立叶分析

傅立叶变换、傅立叶级数统称为傅立叶分析

2.举例

傅里叶变换其实就是把一团杂乱的东西，按照频率的不同依次分组。

把同一件事从时域换到频域，就是傅立叶变换。把频域换到时域，就是傅立叶逆变换。

分为多个正弦波

3.傅里叶级数

拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示

傅里叶猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。任何一个函数都可以用很多个正弦波叠加的方式仿造一个一模一样的函数，再把正弦波按频率依次排开

傅里叶级数

假设，f(x)为周期为T的函数，并且满足傅立叶级数的收敛条件，那么可以写作傅立叶级数：

其中

4.欧拉公式

泰勒公式

将x替换成it则得到欧拉公式。

换算过程

在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示

欧拉公式的图形意义

根据欧拉公式,可以推出

于是写出傅里叶级数的另外一种形式

实际上就是说，曲线可以理解为无数旋转的叠加。

5.傅立叶级数的基

假设f（x）的周期T=2，有

其中，以下无穷集合是无限维向量空间中的一组基，而且是正交单位基

6.傅里叶变换

把无数个正弦波按照频率依次排开（频域图像）是一个连续的函数，而不是离散的频率。

傅立叶级数是基于周期函数的，如果我们把周期推广到无穷大，那么也就变为了非周期函数，这就是傅立叶变换。

傅里叶变换

参考：https://www.zhihu.com/question/19714540

https://www.matongxue.com/madocs/473.html

https://www.matongxue.com/madocs/619.html

https://www.matongxue.com/madocs/8.html

https://www.zhihu.com/question/21665935