matlab ode45三体问题,三 体 问 题 初 探
摘 要：三体问题(three-body
problem)是天体力学中的基本力学模型，分为一般三体问题、圆型限制性三体问题和椭圆型限制性三体问题.本文就圆型限制性三体问题进行研究并绘出轨迹图，分析运动的混沌现象.
对圆型限制性三体问题的研究方法也适用于一般三体问题.
关键词：圆型限制性三体问题 天体动力学 混沌
一、引言
三体问题是研究三个可视为质点的天体在相互之间的万有引力作用下的运动规律问题，分为一般三体问题、圆型限制性三体问题和椭圆型限制性三体问题.
在一般三体问题中，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程，或6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，目前还只能得到三体问题的10个初积分，还远不能解决三体问题。
研究三体问题的方法大致可分为三类：第一类是分析方法，其基本原理是把天体的坐标和速度展开为时间或其他小参数的级数形式的近似分析表达式，从而讨论天体的坐标或轨道要素随时间的变化；第二类是定性方法，采用微分方程的定性理论来研究长时间内三体运动的宏观规律和全局性质；第三类是数值方法，这是直接根据微分方程的计算方法得出天体在某些时刻的具体位置和速度。这三类方法各有利弊，对新积分的探索和各类方法的改进是研究三体问题中很重要的课题。三体问题中有两个特例：早在1772年，拉格朗日已发现三体问题中存在两个定型解(如
)，即等边三角形定型解和直线形定型解.本文只讨论三体问题中最简单的一种情况：圆型限制性三体问题，即研究一个很小的质量体在两个有限质量体(围绕公共质心作圆周运动)的万有引力作用下运动的规律问题.讨论这个问题是有实际意义的.例如，在航天活动中，可以把航天器看作一个很小的质量体.航天器在地球-月球引力作用下，或者在太阳-地球引力作用下，或者在太阳-某大行星引力作用下的运动问题，都可以近似地看成圆型限制性三体问题.
二、圆型限制性三体问题(circular restricted
three-body problem)
下面讨论圆型限制性三体问题的运动规律.
2.1 坐标系的建立 相互作圆周运动.取质心旋转坐标系
，且旋转速度等于两天体的圆周运动角速度.则 在此坐标系中处于静止，如
所示.
2.2 符号和单位的规定
分别为两个大天体的质量和另一小天体的质量；
分别为 相对于两大天体的位置矢量；
分别为 相对于质心惯性系 的位置矢量；
计算单位采用归一化单位制：
.
，
.
2.3 小天体运动微分方程 建立坐标系如 所示，在 系中 的坐标分别为 .在旋转坐标系
中的坐标分别为 两坐标系坐标变换关系为：
其中： ， (1)
的方向余弦分别为 和 ，即
， . (2)
根据牛顿第二定律有
(3)
由(1)、(2)、(3)式可得小天体的运动微分方程
(4)
其中：
1981年著名天体力学家策比黑利(V.Szebehely)等人研究了上面的问题，发现了小天体运动的不“确定性”.他考察了小天体在
中的L4附近随时间变化的行为.他们自L4向上取一平行y轴的小线段，长为0.1，并把它等分成10个小线元，此时分点
(
=0，1，2，…，10)代表小星体的不同位置，取初速度为零，用计算机求非线性方程组(4)的数值解.结果清楚的显示原先初值很接近的分点
，经时间的演化却“随机地”弥散开来.这些都使我们看到由牛顿运动定律制约的小星体的运动，对初值的改变很“敏感”，呈现长时间行为的“不确定性”，即是“混沌”现象.我在求(4)式的数值解的过程中，发现小天体的运动轨迹与积分步长和积分时间以及初始位置三者有关系。
(1) 当积分步长不变，改变积分时间得到的小天体的运动图象：
(2)当积分时间不变，改变积分步长得到的小天体的运动图象：
由(1)、(2)可知在一定的范围内，积分步长越短，积分时间越长，所绘出的图象越精确！
(3)向L4上取的11个初值相差很小的线元(y轴坐标从0.866个单位每改变0.01个单位至0.976单位)，为了显示差异，我将积分步长定为0.01，积分时间定为20，分别依次绘出图象：
从以上各图可以看出在
改变0.01个很小的单位时，小天体的运动轨迹有较显著的差别，也就是说，小天体的运动对初值很“敏感”！即使改变很小，运动轨迹相差很大，而且很难准确预料其运动。这与牛顿的决定论是不同的，即圆型限制型三体问题中存在“混沌”现象。
(4)临界点现象：
我在改变 值时发现了下面的有趣的现象：当
在0.301775999299999959附近时小天体的运动轨迹有很大的变化：大于上值时其轨迹像一个圆饼，而小于此值时则为无规则的曲线！
(5)特别的情况：
此时小天体的运动轨迹只是一条简单的折线.
注意：以上讨论都是在小天体的初速度为零的情况下展开的，即
三、结论
三体问题是复杂的，其关键性工作是怎样求解微分方程组的问题，但目前还不能给出严格的解析解，这有待于数学理论的进一步发展.目前的情况下只能通过计算机的数值计算来模拟其运动规律.在计算过程中发现三体问题运动的“不确定性”，即存在混沌现象.这一现象激励着更多的物理学家和数学家投入研究.
四、感谢
在论文的成型过程中，我的指导老师吴兴举老师给予了极大的帮助，还有周本达老师、陈建东老师也解答了我的许多疑惑，同时我们课题组成员之间相互的学习和积极的探讨促成了课题的完成.在此衷心谢谢他们！
参考文献
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北京：清华大学出版社，2002.
[9]飞思科技产品研发中心.MATLAB 7 基础与提高.
武汉：电子工业大学出版社，2005.
附录
计算参考程序：
function keti
a=[0.866:0.01:0.976]
[t,y] = ode45(@f,[0:0.01:20],[-0.4879,0,a(:,i),0,0,0]);
for i=1:11
plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5));
title('Solution of x y and z');
xlabel('solution of y');
ylabel('solution of x');
zlabel('solution of z');
end
function keti1
[t,y] = ode45(@f,[0:0.01:200],[0,0,0,0,0,0]);
plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5));
title('Solution of x y and z');
xlabel('solution of y');
ylabel('solution of x');
zlabel('solution of z');
function keti2
b=[0.30177599929999996; 0.301775999299999958];
[t,y] = ode45(@f,[0:0.01:200],[-0.4879,0,b(:,i),0,0,0]);
for i=1:2
plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5));
title('Solution of x y and z');
xlabel('solution of y');
ylabel('solution of x');
zlabel('solution of z');
end
function san=f(t,y)
san=[y(2);2*y(4)+y(1)-0.9879*(y(1)+0.9879)/((y(1)+0.9879)^2+y(3)^2+y(5)^2)^1.5-0.0121*(y(1)-0.0121)/((y(1)-0.0121)^2+y(3)^2+y(5)^2)^1.5;y(4);-2*y(2)+y(3)-0.9879*y(3)/((y(1)+0.9879)^2+y(3)^2+y(5)^2)^1.5-0.0121*y(3)/((y(1)-0.0121)^2+y(3)^2+y(5)^2)^1.5;y(6);-0.9879*y(5)/((y(1)+0.9879)^2+y(3)^2+y(5)^2)^1.5-0.0121*y(5)/((y(1)-0.0121)^2+y(3)^2+y(5)^2)^1.5];