线性代数学习总结-向量空间与子空间

这一节主要是说明几个向量空间，关系到后面正交矩阵、线性拟合等感性上的理解

向量空间

简而言之向量空间包含了所有含有个分量的向量。那向量空间内就很好理解了，就是任何空间内的向量，相加，乘以系数（即线性组合），其结果依旧在这个空间内。

那么子空间呢？
子空间就是一组满足其线性组合依旧在该集合内的向量集合（包含0）

即 依旧在集合内

列空间

最重要的子空间直接跟矩阵相关。
对于
考虑如果A是非可逆矩阵，那么必然有一些是可解的，一些是不可解的，那么对于这些可解的，其只是矩阵中的列向量的线性组合。这些组成的列空间。
记做

零空间

顾名思义，零空间就是的时候，所有的解所组成的空间。
问题来了，对于可逆矩阵而言，零空间有几个向量？没错，答案就是1。因为对于可逆矩阵而言，只有唯一这个解。
记做

如何通过消元法求出所有的解呢？
如前文所述，线性组合就可以表示为向量空间，那么，对于表达式而言，必然存在个特殊解。用特殊解的线性组合就可以构造出所有的满足的解，自然也就是零空间了。

举个栗子，矩阵
对于消元法而言，主元素（也就是）的值不能为0，上面消元后的结果中发现只有列1和列2主元素位置上的值不为0
意味着，U的另外两个元素可以随意取值，为了求解方便，分别取和，可以得到结果为

则所有的解即零空间了

矩阵的秩(rank)就是主元素(pivot)位置非零的数量，记做

求解

注意哦，这里的矩阵不一定是可逆矩阵呢。那么，如何求解出所有的的解呢？

假设表示矩阵的一个特解
假设表示矩阵的零空间
那么，解，因为而因此

独立向量，基以及维数

独立向量就是矩阵中那些不能由其他列线性组合得到的列。这些独立向量构成了空间。因为依赖列其实没有起任何作用，他们可以由独立向量线性组合得到。

矩阵的基可以理解为一组满足条件1.相互独立2.构成整个空间的向量集合

例如3x3的矩阵的基为一共9个，其他的所有3x3矩阵皆可由这9个矩阵线性组合而来

空间的维数等于这个空间的基的数量

四个基础子空间

列空间
零空间
行空间
转置矩阵零空间

思考：各子空间的关系

直接放图

four subspace