LA@向量组@部分组@向量组的秩
文章目录
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- 向量组@部分组@向量组的秩
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- 极大线性无关组
- 零向量和极大无关组
- 极大无关组包含的向量数量
- 向量组的秩
- 向量组秩的定理
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- 例
- 向量组的值和矩阵的秩
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- 例
- 行秩和线性方程组的解
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- 行秩引理
- 矩阵的行秩和列秩相等
向量组@部分组@向量组的秩
- 当一组向量组吸纳行相关时,至少有一向量能够被其余向量表示,从线性表出的角度,该向量对于向量组时多余的
- 那么给定一个向量组,可以从中找到一个部分组,该不部分组不含多余向量且和原向量组等价?
极大线性无关组
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极大线性无关组在不引起混淆的情况下,简称维极大无关组
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如果某个向量组 Φ \Phi Φ的部分组 Ψ \Psi Ψ(至少含一个向量)线性无关,如果从 Δ = Φ − Ψ \Delta=\Phi-\Psi Δ=Φ−Ψ向量集合中任意选取一个向量 α p \alpha_p αp(如果 Δ ≠ ∅ \Delta\neq{\varnothing} Δ=∅)添加到 Ψ \Psi Ψ中就使得新的部分组 Ψ ′ = Ψ ∪ α p \Psi'=\Psi\cup{\alpha_p} Ψ′=Ψ∪αp线性相关,那么称 Ψ \Psi Ψ是 Φ \Phi Φ的一个极大无关组
- 上述的任意很关键,如果不是任意,则不能保证无关组的极大性
- 如果某个 Φ \Phi Φ的部分组 Ψ \Psi Ψ本身线性无关,且从 Δ = Φ − Ψ \Delta=\Phi-\Psi Δ=Φ−Ψ取出某个向量和 Ψ \Psi Ψ构成的新向量组 Ψ ′ \Psi' Ψ′仍然线性无关,那么说明 Ψ \Psi Ψ一定不是极大无关组(只是 Ψ \Psi Ψ的一个普通的部分无关组)
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一个线性无关组的极大无关组就是其本身
- 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩和它所含的向量个数相同
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(向量组的)任意一个极大无关组都与向量组本身等价
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设 Φ = α 1 , ⋯ , α s \Phi=\alpha_1,\cdots,\alpha_s Φ=α1,⋯,αs, Ψ = α 1 , ⋯ , α r \Psi=\alpha_1,\cdots,\alpha_r Ψ=α1,⋯,αr是 Φ \Phi Φ的一个极大无关组,则 Φ ≅ Ψ \Phi\cong\Psi Φ≅Ψ
- Ψ \Psi Ψ可以被 Φ \Phi Φ线性表出: α k = ∑ i = 1 s k i α i = ∑ i = i , i ≠ 0 s 0 α i + 1 × α i , ( k = 1 , 2 , ⋯ , r ) \alpha_{k}=\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_{i}=\sum\limits_{i=i,i\neq{0}}^{s}0\alpha_i+1\times\alpha_i,(k=1,2,\cdots,r) αk=i=1∑skiαi=i=i,i=0∑s0αi+1×αi,(k=1,2,⋯,r)
- 容易知道, Ψ = α 1 , ⋯ , α r \Psi=\alpha_1,\cdots,\alpha_r Ψ=α1,⋯,αr可以由其自身线性表示
- 我们对 Δ = α r + 1 , ⋯ , α s \Delta=\alpha_{r+1},\cdots,\alpha_{s} Δ=αr+1,⋯,αs这部分的向量构成的向量组 ( Δ ) (\Delta) (Δ)能否被 Ψ \Psi Ψ线性表示更兴趣
- Ψ \Psi Ψ是 Ψ \Psi Ψ的极大无关组,由极大性可知只要从 Δ \Delta Δ任意取出一个向量和 Ψ \Psi Ψ构成的 Ψ ′ = Ψ ∪ α p \Psi'=\Psi\cup\alpha_p Ψ′=Ψ∪αp是线性相关的
- 在"向量组添加一个向量的讨论"中得到的结论可知: α p \alpha_p αp可以被 Ψ \Psi Ψ唯一地线性表出
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向量组 Φ \Phi Φ的极大无关组不是唯一的,且同一个向量组的众多极大无关组 ( Ψ i ) (\Psi_i) (Ψi)都相互等价: Φ ≅ Ψ 1 ≅ Ψ 2 ≅ ⋯ ≅ Ψ m \Phi\cong\Psi_1\cong\Psi_2\cong\cdots\cong\Psi_m Φ≅Ψ1≅Ψ2≅⋯≅Ψm(设 Φ \Phi Φ有m个极大无关组)
零向量和极大无关组
- 含有零向量的向量组一定线性相关
- 如果某个向量组只含有一个向量 α \alpha α,那么只有当 α = 0 \alpha=\bold{0} α=0时,存在非零k使得 k α = 0 k\alpha=\bold{0} kα=0,即向量组线性相关
- 如果某个向量组只含有零向量,那么该向量组没有极大无关组(规定这类向量组的秩为零)
极大无关组包含的向量数量
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一向量组的极大无关组间都含有相同的向量个数
- 前面讨论过,线性无关的等价向量组必定含有相同个数的向量
- 恰好极大无关组之间就是这样的关系,因此极大无关组之间两两都具有相同的向量
- N ( Ψ 1 ) = N ( Ψ 2 ) ⋯ = N ( Ψ m ) ⩽ N ( Φ ) N(\Psi_1)=N(\Psi_2)\cdots=N(\Psi_m)\leqslant{N(\Phi)} N(Ψ1)=N(Ψ2)⋯=N(Ψm)⩽N(Φ)
- Ψ i , i = 1 , ⋯ , m \Psi_i,i=1,\cdots,m Ψi,i=1,⋯,m都是 Φ \Phi Φ的极大无关组
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极大无关组包含的向量个数和极大无关组的具体选取无关,直接体现了向量组的本质
向量组的秩
- 向量组 Φ \Phi Φ的极大无关组 Ψ \Psi Ψ所含有的向量个数称为该向量组的秩,记为 r ( Φ ) r(\Phi) r(Φ)
- 显然有 r ( Ψ ) = r ( Φ ) r(\Psi)=r(\Phi) r(Ψ)=r(Φ)
向量组秩的定理
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如果 Φ \Phi Φ可以由 Ψ \Psi Ψ线性表示,则 r ( Φ ) ⩽ r ( Ψ ) r(\Phi)\leqslant r(\Psi) r(Φ)⩽r(Ψ)
- 推论:等价的向量组有相同的秩
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r ( α 1 , ⋯ , α s ) ⩽ r ( α 1 , ⋯ , α s , α s + 1 ) r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)\leqslant{r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s,\alpha_{s+1})} r(α1,⋯,αs)⩽r(α1,⋯,αs,αs+1)
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矩阵的秩以及行秩和列秩的关系: r ( A ) = r r ( A ) = r c ( A ) r(A)=r_r(A)=r_c(A) r(A)=rr(A)=rc(A)
- 经过初等变换,向量组的秩不变
例
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已知向量组 Φ = α 1 , ⋯ , α s ( s > 1 ) \Phi=\alpha_1,\cdots,\alpha_s(s>1) Φ=α1,⋯,αs(s>1), Ψ = β 1 , ⋯ , β s \Psi=\beta_1,\cdots,\beta_s Ψ=β1,⋯,βs
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β i = ∑ k ∈ I , k ≠ i α k , I = { 1 , 2 , ⋯ , s } i = 1 , 2 , ⋯ , s ∑ i = 1 s β i = ∑ i = 1 s ( ∑ k ∈ I , k ≠ i α k ) = ( s − 1 ) ∑ i = 1 s α i S ( α ) = ∑ i = 1 s α i = 1 s − 1 ∑ i = 1 s β i S ( α ) = α i + ∑ k ∈ I , k ≠ i α k = α i + β i = 1 s − 1 ∑ i = 1 s β i 从而 α i = β i − 1 s − 1 ∑ i = 1 s β i , ( i = 1 , … , s ) \beta_i=\sum\limits_{k\in{I},k\neq{i}}\alpha_k,I=\{1,2,\cdots,s\} \\i=1,2,\cdots,s \\ \sum\limits_{i=1}^{s}\beta_i =\sum\limits_{i=1}^{s}(\sum\limits_{k\in{I},k\neq{i}}\alpha_k) =(s-1)\sum\limits_{i=1}^{s}\alpha_i \\ S(\alpha)=\sum\limits_{i=1}^{s}\alpha_i=\frac{1}{s-1}\sum\limits_{i=1}^{s}\beta_i \\ S(\alpha)=\alpha_i+\sum\limits_{k\in{I},k\ne{i}}^{}\alpha_k \\=\alpha_i+\beta_i=\frac{1}{s-1}\sum\limits_{i=1}^{s}\beta_i \\从而\alpha_i=\beta_i-\frac{1}{s-1}\sum\limits_{i=1}^{s}\beta_i,(i=1,\dots,s) βi=k∈I,k=i∑αk,I={1,2,⋯,s}i=1,2,⋯,si=1∑sβi=i=1∑s(k∈I,k=i∑αk)=(s−1)i=1∑sαiS(α)=i=1∑sαi=s−11i=1∑sβiS(α)=αi+k∈I,k=i∑αk=αi+βi=s−11i=1∑sβi从而αi=βi−s−11i=1∑sβi,(i=1,…,s)
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可见 Φ \Phi Φ和 Ψ \Psi Ψ可以相互表示, Φ ≅ Ψ \Phi\cong\Psi Φ≅Ψ,所以 r ( Φ ) = r ( Ψ ) r(\Phi)=r(\Psi) r(Φ)=r(Ψ)
向量组的值和矩阵的秩
- 矩阵可以看做是行向量或列向量组成的
- 行秩:矩阵行的行向量组的秩
- 列秩:矩阵的列向量组的秩
例
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A = ( 1 1 3 1 0 2 − 1 4 0 0 0 5 0 0 0 0 ) 行向量组 : α 1 = ( 1 , 1 , 3 , 1 ) α 2 = ( 0 , 2 , − 1 , 4 ) α 3 = ( 0 , 0 , 0 , 5 ) α 4 = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) 列向量组 : β 1 = ( 1 0 0 0 ) β 2 = ( 1 2 0 0 ) β 3 = ( 3 − 1 0 0 ) β 3 = ( 1 4 5 0 ) β i 和 α i 并不是转置关系 A =\begin{pmatrix} 1& 1& 3& 1 \\ 0& 2& -1& 4 \\ 0& 0& 0& 5 \\ 0& 0& 0& 0 \\ \end{pmatrix} \\行向量组: \\ \begin{aligned} \alpha_1&=(1,1,3,1) \\ \alpha_2&=(0,2,-1,4) \\ \alpha_3&=(0,0,0,5) \\ \alpha_4&=(0,0,0,0) \end{aligned} \\列向量组: \\ \beta_1 =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \beta_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \\ \beta_3=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \beta_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \\\beta_i和\alpha_i并不是转置关系 A= 100012003−1001450 行向量组:α1α2α3α4=(1,1,3,1)=(0,2,−1,4)=(0,0,0,5)=(0,0,0,0)列向量组:β1= 1000 β2= 1200 β3= 3−100 β3= 1450 βi和αi并不是转置关系
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Ψ = α 1 , α 2 , α 3 是 Φ = α 1 , ⋯ , α 4 的一个极大无关组 矩阵 A 的行秩为 3 对于行向量组 , 依然转化为列向量 ( 做转置处理 ) , ( 因为我们对判断列向量组的线性相关性比较习惯 , 列向量的结论不能直接用在行向量的判断 ) Ψ ′ = α 1 T , α 2 T , α 3 T Ψ 和 Ψ ′ 具有相同的线性相关性 ( 注意 , 这和 β 1 , β 2 , β 3 是不同的 ) Ψ ′ 是否线性相关取决于 ( Ψ ′ ) x = 0 是否有非零解 而 r ( ( Ψ ′ ) ) = 3 , Ψ ′ 线性无关 , 所以 Ψ 线性无关 ( 其中 ( Ψ ) x = 0 和 ( Ψ ′ ) x = 0 , 他们的解是转置关系 类似地 , 可以验证 Φ 是线性相关的 \Psi=\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3是\Phi=\alpha_1,\cdots,\alpha_4的一个极大无关组 \\矩阵A的行秩为3 \\\\ 对于行向量组,依然转化为列向量(做转置处理), \\(因为我们对判断列向量组的线性相关性比较习惯, \\列向量的结论不能直接用在行向量的判断) \\ \Psi'=\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T \\\Psi和\Psi'具有相同的线性相关性 \\ (注意,这和\beta_1,\beta_2,\beta_3是不同的) \\\Psi'是否线性相关取决于(\Psi')x=0是否有非零解 \\而r((\Psi'))=3,\Psi'线性无关,所以\Psi线性无关 \\(其中(\Psi)x=0和(\Psi')x=0,他们的解是转置关系 \\\\ 类似地,可以验证\Phi是线性相关的 Ψ=α1,α2,α3是Φ=α1,⋯,α4的一个极大无关组矩阵A的行秩为3对于行向量组,依然转化为列向量(做转置处理),(因为我们对判断列向量组的线性相关性比较习惯,列向量的结论不能直接用在行向量的判断)Ψ′=α1T,α2T,α3TΨ和Ψ′具有相同的线性相关性(注意,这和β1,β2,β3是不同的)Ψ′是否线性相关取决于(Ψ′)x=0是否有非零解而r((Ψ′))=3,Ψ′线性无关,所以Ψ线性无关(其中(Ψ)x=0和(Ψ′)x=0,他们的解是转置关系类似地,可以验证Φ是线性相关的
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类似的方法,可以验证 Γ = β 1 , β 2 , β 4 \Gamma=\beta_1,\beta_2,\beta_4 Γ=β1,β2,β4是 Ω = β 1 , ⋯ , β 4 \Omega=\beta_1,\cdots,\beta_4 Ω=β1,⋯,β4的一个极大无关组
- 若方程 ( Γ ) x = 0 (\Gamma)x=\bold0 (Γ)x=0有非零解,则 Γ \Gamma Γ线性相关,否则线性无关
- r ( ( Γ ) ) r((\Gamma)) r((Γ))=3,因此方程只有零解, Γ \Gamma Γ线性无关
- 类似地,可以验证 Φ \Phi Φ是线性相关的
- 若方程 ( Γ ) x = 0 (\Gamma)x=\bold0 (Γ)x=0有非零解,则 Γ \Gamma Γ线性相关,否则线性无关
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由于 ( Ω ) = ( Φ ) (\Omega)=(\Phi) (Ω)=(Φ)则有 r ( ( Φ ) ) = r ( ( Ω ) ) r((\Phi))=r((\Omega)) r((Φ))=r((Ω))且都为3
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行秩和线性方程组的解
行秩引理
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引理:如果齐次线性方程 A m × n x n × 1 = 0 A_{m\times{n}}x_{n\times{1}}=\bold{0} Am×nxn×1=0的系数矩阵 A A A的行秩 r r ( A ) = r < n r_r(A)=r
rr(A)=r<n 则方程组有非零解-
以 Φ = α 1 , ⋯ , α m \Phi=\alpha_1,\cdots,\alpha_m Φ=α1,⋯,αm代表A的行向量组, A = ( Φ ) , r r ( A ) = r ( Φ ) = r A=(\Phi),r_r(A)=r(\Phi)=r A=(Φ),rr(A)=r(Φ)=r
- 向量 α i , ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ) \alpha_i,(i=1,2,\cdots,m) αi,(i=1,2,⋯,m)的维数是n
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因为 r ( Φ ) = r r(\Phi)=r r(Φ)=r所以 Φ \Phi Φ的极大无关组(记为 Ψ \Psi Ψ)是由r个向量构成的 Ψ = α 1 , ⋯ , α r \Psi=\alpha_1,\cdots,\alpha_r Ψ=α1,⋯,αr
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由于 Φ ≅ Ψ \Phi\cong\Psi Φ≅Ψ,所以 ( Ψ ) x = 0 (\Psi)x=0 (Ψ)x=0和 ( Φ ) x = 0 (\Phi)x=0 (Φ)x=0同解
- 又因为 r < n r
r<n ,所以 ( Ψ ) x = 0 (\Psi)x=0 (Ψ)x=0有非零解,所以 ( Φ ) x = 0 (\Phi)x=0 (Φ)x=0,(即 A x = 0 Ax=0 Ax=0)有非零解
- 又因为 r < n r
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因此引理得证
- 引理的逆否命题方式的等价描述为:若方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0只有零解,则系数矩阵A的行秩 r ⩾ n r\geqslant{n} r⩾n(n为A的列数)
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矩阵的行秩和列秩相等
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设矩阵为 A m × n A_{m\times{n}} Am×n
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A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) A T = ( a 11 a 21 ⋯ a m 1 a 12 a 22 ⋯ a m 2 ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a m n ) A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn} \\ \end{pmatrix} \\A^T =\begin{pmatrix} a_{11} &a_{21} &\cdots &a_{m1} \\ a_{12} &a_{22} &\cdots &a_{m2} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{1n} &a_{2n} &\cdots &a_{mn} \\ \end{pmatrix} A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn AT= a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋯am1am2⋮amn
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A的行秩 r r ( A ) = r r_r(A)=r rr(A)=r
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A的列秩 r c ( A ) = r 1 r_c(A)=r_1 rc(A)=r1
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先证明 r ⩽ r 1 r\leqslant{r_1} r⩽r1
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Φ = α 1 , ⋯ , α m \Phi=\alpha_1,\cdots,\alpha_m Φ=α1,⋯,αm代表 A A A的向量组
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Ψ = α 1 , ⋯ , α r \Psi=\alpha_1,\cdots,\alpha_r Ψ=α1,⋯,αr表示 Φ \Phi Φ的一个极大无关组 ( r ⩽ m ) (r\leqslant{m}) (r⩽m)
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因为 Ψ \Psi Ψ线性无关,所以方程 ∑ i = 1 r x i α i = 0 \sum\limits_{i=1}^{r}x_i\alpha_i=\bold{0} i=1∑rxiαi=0只有零解
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( x 1 , x 2 , ⋯ , x r ) 1 × r ( α 1 α 2 ⋮ α r ) r × 1 = ∑ i = 1 r x i α i = ( 0 ) 1 × 1 上述方程的矩阵形式可以表示为 x A = 0 N o t e : ∑ i = 1 r x i α i 不是一个数 , 而是一个向量 1 × n ( 0 ) 1 × 1 可以理解为只包含一个元素 ( 零向量 ) 的分块矩阵 和只包含一个数字零的矩阵不同 由转置的性质可知 , 方程可以还可以改写为 ( x A ) T = 0 T , 即 A T x T = 0 ( 分块矩阵的转置 ) ( α 1 T , α 2 T , ⋯ , α r T ) 1 × r ( x 1 x 2 ⋮ x r ) r × 1 = 0 (x_1,x_2,\cdots,x_r)_{1\times{r}} \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_r \end{pmatrix}_{r\times{1}} =\sum\limits_{i=1}^{r}x_i\bold\alpha_i =(\bold{0})_{1\times{1}} \\ 上述方程的矩阵形式可以表示为xA=0 \\ Note:\sum\limits_{i=1}^{r}x_i\alpha_i 不是一个数,而是一个向量1\times{n} \\(\bold{0})_{1\times{1}}可以理解为只包含一个元素(零向量)的分块矩阵 \\和只包含一个数字零的矩阵不同 \\ \\由转置的性质可知,方程可以还可以改写为(xA)^T=0^T,即A^Tx^T=0 \\(分块矩阵的转置) \\(\alpha_1^T,\alpha_2^T,\cdots,\alpha_r^T)_{1\times{r}} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_r \end{pmatrix}_{r\times{1}} =0 (x1,x2,⋯,xr)1×r α1α2⋮αr r×1=i=1∑rxiαi=(0)1×1上述方程的矩阵形式可以表示为xA=0Note:i=1∑rxiαi不是一个数,而是一个向量1×n(0)1×1可以理解为只包含一个元素(零向量)的分块矩阵和只包含一个数字零的矩阵不同由转置的性质可知,方程可以还可以改写为(xA)T=0T,即ATxT=0(分块矩阵的转置)(α1T,α2T,⋯,αrT)1×r x1x2⋮xr r×1=0
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该方程组的展开形式(行向量组中向量的同序分量线性组合形式)为
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∑ i = 1 r x i α i ( p ) = ∑ i = 1 r x i a i p = 0 , p = 1 , 2 , ⋯ , n α i ( k ) = a i k , 表示的是向量 α i 的 p 个分量是 a i p a 11 x 1 + a 21 x 2 + ⋯ + a r 1 x r = 0 a 12 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a r 2 x r = 0 ⋮ a 1 n x 1 + a 2 n x 2 + ⋯ + a r n x r = 0 \sum\limits_{i=1}^{r}x_i\alpha_{i}(p)= \sum\limits_{i=1}^{r}x_ia_{ip}=\bold{0}, \\p=1,2,\cdots,n \\\alpha_i(k)=a_{ik},表示的是向量\alpha_i的p个分量是a_{ip} \\ a_{11}x_1+a_{21}x_2+\cdots+a_{r1}x_r=0 \\ a_{12}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{r2}x_r=0 \\\vdots \\ a_{1n}x_1+a_{2n}x_2+\cdots+a_{rn}x_r=0 i=1∑rxiαi(p)=i=1∑rxiaip=0,p=1,2,⋯,nαi(k)=aik,表示的是向量αi的p个分量是aipa11x1+a21x2+⋯+ar1xr=0a12x1+a22x2+⋯+ar2xr=0⋮a1nx1+a2nx2+⋯+arnxr=0
- 行向量为n维
- Ψ \Psi Ψ中含有r个行向量,所以每个方程等式左边含有r个项
- 第i个方程由每个行向量的第i个分量乘以不同系数所构成
- 方程个数和行向量维数都是n
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系数矩阵为 B B B,
- B = ( a 11 a 21 ⋯ a r 1 a 12 a 22 ⋯ a r 2 ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a r n ) n × r B=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{21} &\cdots &a_{r1} \\ a_{12} &a_{22} &\cdots &a_{r2} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{1n} &a_{2n} &\cdots &a_{rn} \\ \end{pmatrix}_{n\times{r}} B= a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋯ar1ar2⋮arn n×r
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则由引理,系数矩阵B的行秩 r r ( B ) ⩾ r r_r(B)\geqslant{r} rr(B)⩾r(r为B的列数)
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因此,可以在B的行向量中可以找到r个线性无关向量
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例如:
- ( a 11 , a 21 , ⋯ , a r 1 ) ; ( a 12 , a 22 , ⋯ , a r 2 ) ; ⋮ ( a 1 r , a 2 r , ⋯ , a r r ) (a_{11},a_{21},\cdots,a_{r1});\\(a_{12},a_{22},\cdots,a_{r2});\\ \vdots\\ (a_{1r},a_{2r},\cdots,a_{rr}) (a11,a21,⋯,ar1);(a12,a22,⋯,ar2);⋮(a1r,a2r,⋯,arr)
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对这r个线性无关的向量增加若干个分量,(达到m个分量,则他们正好是A的列向量),依然保持线性无关,可知矩阵A的列秩至少为r(即 r 1 ⩾ r r_1\geqslant{r} r1⩾r)
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例如
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( a 11 , a 21 , ⋯ , a r 1 , ⋯ , a m 1 ) ; ( a 12 , a 22 , ⋯ , a r 2 , ⋯ , a m 2 ) ; ⋮ ( a 1 r , a 2 r , ⋯ , a r r , ⋯ , a m r ) (a_{11},a_{21},\cdots,a_{r1},\cdots,a_{m1});\\(a_{12},a_{22},\cdots,a_{r2},\cdots,a_{m2});\\ \vdots\\ (a_{1r},a_{2r},\cdots,a_{rr},\cdots,a_{mr}) (a11,a21,⋯,ar1,⋯,am1);(a12,a22,⋯,ar2,⋯,am2);⋮(a1r,a2r,⋯,arr,⋯,amr)
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该向量组恰好是A的列向量,且线性无关
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同样的方法可以证明 r ⩾ r 1 r\geqslant{r_1} r⩾r1,从而 r = r 1 r=r_1 r=r1,行秩和列秩相等
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