数学建模：4 插值法

插值算法可用于预测

• 插值多项式
• 分段插值
• 三角插值（不常用）、

目录

插值多项式

拉格朗日插值法

牛顿（Newton）插值法

龙格现象(Runge phenomenon)

埃尔米特(Hermite)插值

分段插值

最常用：分段三次埃尔米特插值

最常用：三次样条插值

n维数据的插值

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插值多项式

拉格朗日插值法

    

牛顿（Newton）插值法

 差商：

   

 

       与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法的计算过程具有继承性（牛顿插值法每次插值只和前 n 项的值有关，这样每次只要在原来的函数上添加新的项，就能够产生新的函数，拉格朗日插值法要全部重新计算），但是牛顿插值也存在龙格现象的问题。

       两种方法都有的缺点：只满足特殊点函数值相等，导数值不一定相等，这种插值多项式 不能全面反映被插值函数的性态 —— 改进： 埃尔米特插值

龙格现象(Runge phenomenon)

埃尔米特(Hermite)插值

 该方法依然存在龙格现象，改进——分段三次埃尔米特插值

分段插值

最常用：分段三次埃尔米特插值

Matlab 有内置的函数：

p = pchip(x,y, new_x) 

x 是已知的样本点的横坐标 ;y 是已知的样本点的纵坐标 ;new_x 是要插入处对应的横坐标

最常用：三次样条插值

Matlab 有内置的函数：

p = spline (x,y, new_x)  

x 是已知的样本点的横坐标 ;y 是已知的样本点的纵坐标 ;new_x 是要插入处对应的横坐标

跟埃尔米特插值比，该方法曲线更光滑， 由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用

n维数据的插值

p = interpn( x1,x2,...,xn , y , new_x1,new_x2,...,new_xn , method )

x1,x2,...,xn 是已知的样本点的横坐标

y 是已知的样本点的纵坐标坐标

new_x1,new_x2,...,new_xn 是要插入点的横坐标

method 是要插值的方法

‘linear’ ：线性插值（默认算法）；

‘ cubic’ ：三次插值；

‘ spline’ ：三次样条插值法； ( 最为精准 )

‘ nearest’ ：最邻近插值算法。