Perplexity
困惑度（Perplexity):评价语言模型的指标
1.定义
PPL(Perplexity) 是用在自然语言处理领域（NLP）中，衡量语言模型好坏的指标。它主要是根据每个词来估计一句话出现的概率，并用句子长度作normalize。
- 其本质上就是计算句子的概率，例如对于句子S（词语w的序列）：
S = W 1 , W 2 ， W 3 , . . . , W k S = W_1,W_2，W_3,...,W_k S=W1,W2，W3,...,Wk
- 它的概率为：
P ( S ) = P ( W 1 , W 2 ， W 3 , . . . , W k ) = p ( W 1 ) p ( W 2 ∣ W 1 ) . . . p ( W k ∣ W 1 , W 2 ， W 3 , . . . , W k − 1 ) P(S) = P(W_1,W_2，W_3,...,W_k)= p(W_1)p(W_2|W_1)...p(W_k|W_1,W_2，W_3,...,W_{k-1}) P(S)=P(W1,W2，W3,...,Wk)=p(W1)p(W2∣W1)...p(Wk∣W1,W2，W3,...,Wk−1)
困惑度与测试集上的句子概率相关，其基本思想是：给测试集的句子赋予较高概率值的语言模型较好,当语言模型训练完之后，测试集中的句子都是正常的句子，那么训练好的模型就是在测试集上的概率越高越好。
- 通俗点来讲，假设词库里有10个单词，那么对于一个完全没有训练过的模型，其预测一个特定单词的概率就是1/10,概率是均等分的，这时候我们就能得出其困惑度为10，也就是模式是完全糊涂的，没有任何分辨能力。但是当模型能将一个特定单词预测出1/2的概率时，就代表模型能从10个单词中挑选出2个可能对的单词，这时候模型的困惑度就是2，说明模型有了一定的分辨能力。当然，这么简单的求倒数获取困惑度的前提是概率是均等的，如果概率不均等，那么困惑度和预测的倒数就不是相等关系了。
- 当然，最好的就是模型能识别出那个正确的单词，给予100%的概率，这时候模型的困惑度就是1，代表模型没有任何困惑，是完全清楚的，可以正确识别单词，也就是能正确识别一个句子。
2.公式
下面讲一下其基础公式：
P P ( W ) = P ( w 1 w 2 w 3 . . . w N ) − 1 N = 1 P ( w 1 w 2 w 3 . . . w N ) N PP(W)=P(w_1w_2w_3...w_N)^{-\frac{1}{N}}\\ = \sqrt[N]{\frac{1}{P(w_1w_2w_3...w_N)}} PP(W)=P(w1w2w3...wN)−N1=NP(w1w2w3...wN)1
这里补充一下公式的细节：
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根号内是句子概率的倒数，所以显然 句子越好（概率大），困惑度越小，也就是模型对句子越不困惑。 这样我们也就理解了这个指标的名字。
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开N次根号（N为句子长度）意味着几何平均数（把句子概率拆成字符概率的连乘）
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需要平均的原因是，因为每个字符的概率必然小于1，所以越长的句子的概率在连乘的情况下必然越小，所以为了对长短句公平，需要平均一下
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是几何平均的原因，是因为其的特点是，如果有其中的一个概率是很小的，那么最终的结果就不可能很大，从而要求好的句子的每个字符都要有基本让人满意的概率 [2]
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- 机器翻译常用指标BLEU也使用了几何平均，还有机器学习常用的F score使用的调和平均数 ，也有类似的效果。
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当然，这是在数学领域内计算困惑度的公式，在实际的代码层面，用的是另一套公式，需要将上述公式进行转换，下面我就详细来介绍一下：
- 在真实的代码计算中，上述的公式很难计算，但是就是有大佬发现，其实上述的公式可以转化为求交叉熵的公式。而背后的原理是，不管是困惑度，还是交叉熵，其本质上都是在计算信息熵，所以都是在计算模型的混乱程度，因此两者在数学意义的转换就有了理论依据，下面看一下公式转换过程：
P P ( W ) = 2 H ( W ) = 2 − 1 N log 2 P ( w 1 , w 2 , w 3 , . . . , w N ) PP(W) = 2^{H(W)}=2^{-\frac{1}{N}\log_2P(w_1,w_2,w_3,...,w_N)} PP(W)=2H(W)=2−N1log2P(w1,w2,w3,...,wN)
P P ( W ) = 2 − 1 N log 2 P ( w 1 , w 2 , w 3 , . . . , w N ) = ( 2 log 2 P ( w 1 , w 2 , w 3 , . . . , w N ) ) − 1 N = P ( w 1 , w 2 , w 3 , . . . , w N ) − 1 N = 1 P ( w 1 w 2 w 3 . . . w N ) N PP(W)=2^{-\frac{1}{N}\log_2P(w_1,w_2,w_3,...,w_N)}\\ =(2^{\log_2P(w_1,w_2,w_3,...,w_N)})^{-\frac{1}{N}}\\ =P(w_1,w_2,w_3,...,w_N)^{-\frac{1}{N}}\\ =\sqrt[N]{\frac{1}{P(w_1w_2w_3...w_N)}} PP(W)=2−N1log2P(w1,w2,w3,...,wN)=(2log2P(w1,w2,w3,...,wN))−N1=P(w1,w2,w3,...,wN)−N1=NP(w1w2w3...wN)1
- 从上面可以看出，
PP(W)在本质上就是变成了交叉熵加一个底数的指数函数，所以当我们要求困惑度，就可以直接求交叉熵了。 - 这里还有一个细节，这个底数和log是配套的，在公式中间可以直接消掉，所以底数的大小并不重要，这里选了2，换一个我也可以使用e，这并无关系。
3.代码
我们来看一下代码具体是怎么实现困惑度的。
probs = np.take(probs, target, axis=1).diagonal()
total += -np.sum(np.log(probs))
count += probs.size
perplexity = np.exp(total / count)
其实核心代码就这四行。
- 第一行，先求出 P ( w 1 , w 2 , w 3 , . . . , w N ) P(w_1,w_2,w_3,...,w_N) P(w1,w2,w3,...,wN),也就是求交叉熵。
- 第二行，对应的代码是 − log 2 P ( w 1 , w 2 , w 3 , . . . , w N ) -\log_2P(w_1,w_2,w_3,...,w_N) −log2P(w1,w2,w3,...,wN)
- 第三行，对应的代码是求
N - 第四行，对应的代码就是 2 − 1 N log 2 P ( w 1 , w 2 , w 3 , . . . , w N ) 2^{-\frac{1}{N}\log_2P(w_1,w_2,w_3,...,w_N)} 2−N1log2P(w1,w2,w3,...,wN)
以上就是我个人对于困惑度查询资料以及完成代码之后做出的理解。