由一道笔试题看动态规划

对于大多数学习编程的人来说，动态规划一直是一个难突破的点，我自己在学习过程中也是很困惑，各种书籍资料，视频都看过不少，基本的思想也都能理解，但一碰到题目的时候还是觉得无从下手。最近在做笔试题的时候突然有了一丢丢理解，这里记录下， 没准路过看到的人能加深理解或有所启发。

逆向思维

题目如下：

一个人在 m×n 的方格里行走，每次只能向右或向下，每个方格里的值是距离，求从起点走到终点的最短路径值。
示例：3 3
1 3 1
1 5 1
4 2 1
最终输出 7 ，从左上走到右下所花费的最短距离是 7

第一眼看到题目的时候，就知道是动态规划类的题了，然而在做题时由于各（tai）种（cai）原（le）因还是没能做出来，尽管对这种类型的题目见得多了。有种我熟悉它它却不待见我的赶脚。等到结束之后回过头来想，想啊想啊想 ... 半小时过去了，又想啊想，总算是把代码实现出来了。

按照正常思维来看的话，人站在起点处，向右或向下走到终点，那么最短距离就是每次比较向左或向下的路程，取最小的走，在加上自身需要的路程，这样一直走到终点就是最短的路径值。对照着题目验证下，那就是 1 -> (向下) 1 -> (向下) 4 -> (向右) 2 -> (向右) 1 到达终点，总距离是 9 ，发现这种走法是错的。正确的走法应该是 1 -> 3 -> 1 -> 1 -> 1 ,总距离是 7 最短。

image

此方法不行，那我们来考虑第二种解法。现在，不从起点来推算了，因为我们一眼看过去题目这个矩阵，就知道在这个输入下，最好的路径就是 1 -> 1 -> 1 -> 3 -> 1 这样走法，怎么得出来的呢？我们从矩阵最后一个数看，它是终点，那这个终点是如何过来的呢？ 发现它是由左边或者上边这个数字过来的，为什么会这样？因为题目说了，只能向右或向下走，所以终点的这个位置要么是上面位置向下走得来的，要么就是左边位置向右走到达的。所以我们从后往前推得出 1 -> 1 -> 1 -> 3 -> 1 这种最佳走法。如下图：

image

这就是传说中的动态规划 , 在这道题里，我们定义的一个状态是 f(i, j) ，表示从起点走到坐标（i, j） 所经历的最短路径，由上面的推断可以发现，坐标 （i,j）的最短路径总是由 坐标(i-1, j) 和坐标 (i, j-1) 两个的最小值加上坐标 (i, j) 自身的值得来，
状态转移方程为 f(i, j) = Math.min(f(i-1 ,j), f(i, j-1)) + values[i, j] i, j 为二维数组的坐标，values 为数组对应坐标的初始值。原始数组 values 和 dp 数组的推算值如下图：

image

有了上面的铺垫，我们就可以得出代码了：

function solve(arr, m, n) {
    //定义一个二维数组 dp , dp[i][j]表示走到i,j这个点的最短路径
    var dp = new Array(m);
    for (var i = 0; i < m; i++) {
        dp[i] = [];
        for (var j = 0; j < n; j++) {
            dp[i][j] = 0;
        }
    }
    // 初始化第一行和第一列的状态值
    dp[0][0] = arr[0][0];
    for (var i = 1; i < n; i++) {
        dp[0][i] = arr[0][i] + dp[0][i - 1];
    }
    for (var i = 1; i < m; i++) {
        dp[i][0] = arr[i][0] + dp[i - 1][0];
    }
    // 动态规划，计算每个点的最短路径值
    for (var i = 1; i < m; i++) {
        for (var j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = arr[i][j] + Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1];
}

我们用一个二维数组dp , 来存储每个节点的最短路径值，这里要特别注意的是，需要对数组的第一行和第一列进行初始化，第一行的每个点只能由左边向右走过来，所以直接累加相应坐标的值；同理第一列的每个点只能由上面向下走得来，每个点由原来的值加上一个点的值即可。接下来从第 1 行，第1列开始，一直遍历到 m -1, n -1 ,把每个状态值填上，函数的返回值为走到终点的坐标也就是 dp[m-1][n-1] 。

动态规划的思想

在学习动态规划的时候，学的一愣一愣的，什么最优子结构、无副作用、重复子问题等，看着这些理论似懂非懂。

什么是动态规划？我觉得动态规划就是逆向，由后往前地去推导这样的过程，就仿佛开了上帝视角一样，在已经知道结果的情况下，通过对各种情况的抉择，去倒推出原始的起点，然后定义一个合理的状态来解释。像上面的这道题目，问你一个人从左上角走到右下角的最短路程，那我们在看题的时候，可以全局地看到各个路径的距离值以及周围的路径分布，所以可以通过推算很快得出结果。上面的第一种解法其实就是贪心的思路，从起点开始，每次选择一条最短的路径走下去，这样带来的弊端就是可能后面的路径是更加糟糕的，容易因为短视而得不到最佳的结果。

总的来说，在遇到一些求最佳问题时，比如求最短路径，最大价值、最长公共子序列等问题时，就要考虑使用动态规划来求解，而有些时候，不妨先用贪心的思想来试试能否求得结果，这样也能明白不行的原因在哪里，也能加深对动态规划的应用场景理解。

后记

很多时候看懂了不一定真的懂了，正如开头提到的知道题目是动态规划，但就是觉得无从下手，现在看还是要多做多理解，也许过段时间又有新的领悟。

对这个知识点的理解还有待加深，文章有什么不对之处，敬请指正，欢迎交流探讨。

(完)