python之sklearn-分类算法-3.1 线性回归

一，线性回归的原理

1，线性回归应用场景

• 房价预测
• 销售额度预测
• 金融：贷款额度预测、利用线性回归以及系数分析因子和选股

2，什么是线性回归

1）定义与公式

线性回归(Linear regression)是利用 回归方程(函数) 对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。

只有一个自变量的情况称为单变量回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归

w为权重、b称为偏置项、x为特征

2） 举例说明

• 期末成绩：0.7×考试成绩+0.3×平时成绩
• 房子价格 = 0.02×中心区域的 距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

上面两个例子，我们看到特征值与目标值之间建立的一个关系，这个可以理解为回归方程。

3）线性回归的特征与目标的关系分析

线性回归当中的关系有两种，一种是线性关系，另一种是非线性关系。

• 线性关系
  
  

注释：如果在单特征与目标值的关系呈直线关系，或者两个特征与目标值呈现平面的关系，更高维度的我们不用自己去想，记住这种关系即可。

• 非线性关系
  

注释：为什么会这样的关系呢？原因是什么？我们后面 讲解过拟合欠拟合重点介绍
如果是非线性关系，那么回归方程可以理解为：w1x1+w2x2^2+w3x32

二，线性回归的损失（理解记忆）

1，什么是线性回归的损失

假设刚才的房子例子，真实的数据之间存在这样的关系

真实关系：真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + 
(-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

那么现在呢，我们随意指定一个关系（猜测）

随机指定关系：预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 
0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率

请问这样的话，会发生什么？真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢？类似这样样子

那么存在这个误差，我们将这个误差给衡量出来

2，损失函数

总损失定义为：

• y_i为第i个训练样本的真实值
• h(x_i)为第i个训练样本特征值组合预测函数
• 又称最小二乘法
  如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！！！

三，线性回归的优化算法原理

如何去求模型当中的W，使得损失最小？（目的是找到最小损失对应的W值）
线性回归经常使用的两种优化算法

1，正规方程

• 正规方程
  

理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果
缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果

2，梯度下降

• 梯度下降(Gradient Descent)
  

理解：α为学习速率，需要手动指定（超参数），α旁边的整体表示方向 沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新W值。
使用：面对训练数据规模十分庞大的任务 ，能够找到较好的结果。

我们通过两个图更好理解梯度下降的过程


所以有了梯度下降这样一个优化算法，回归就有了"自动学习"的能力

四， 线性回归API

• sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)

  • 通过正规方程优化
  • fit_intercept：是否计算偏置

  return:

  • LinearRegression.coef_：回归系数
  • LinearRegression.intercept_：偏置

• sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss=“squared_loss”, fit_intercept=True, learning_rate =‘invscaling’, eta0=0.01)

  • 通过使用SGD优化

  • loss:损失类型 *

  • fit_intercept：是否计算偏置

  • learning_rate : string, optional

    • 学习率填充
    • ‘constant’: eta = eta0
    • ‘optimal’: eta = 1.0 / (alpha * (t + t0)) [default]
    • ‘invscaling’: eta = eta0 / pow(t, power_t)
      • power_t=0.25:存在父类当中

    return:

• SGDRegressor.coef_：回归系数

• SGDRegressor.intercept_：偏置

sklearn提供给我们两种实现的API， 可以根据选择使用

五，波士顿房价预测

• 数据介绍
  
  

给定的这些特征，是专家们得出的影响房价的结果属性。我们此阶段不需要自己去探究特征是否有用，只需要使用这些特征。到后面量化很多特征需要我们自己去寻找

1，分析

回归当中的数据大小不一致，是否会导致结果影响较大。所以需要做标准化处理。同时我们对目标值也需要做标准化处理。

• 数据分割与标准化处理
• 回归预测
• 线性回归的算法效果评估

2，回归性能评估

均方误差(Mean Squared Error)MSE)评价机制：

注：y^i为预测值，¯y为真实值

• sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)
  • 均方误差回归损失
  • y_true:真实值
  • y_pred:预测值
  • return:浮点数结果

3，代码

def mylinearregression():
    """
    线性回归预测房子价格
    :return:
    """
    lb = load_boston()
    #
    # print(lb.data)
    #
    # print(lb.target)

    # 对数据集进行划分
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.3, random_state=24)

    # 需要做标准化处理对于特征值处理
    std_x = StandardScaler()

    x_train = std_x.fit_transform(x_train)
    x_test = std_x.fit_transform(x_test)
    # print(x_train)

    # 对于目标值进行标准化
    std_y = StandardScaler()

    y_train = std_y.fit_transform(y_train)
    y_test = std_y.transform(y_test)
    # print(y_train)
    # y_test = std_y.inverse_transform(y_train)
    # print(y)

    y_test = std_y.inverse_transform(y_test)

    # 使用线性模型进行预测
    # 使用正规方程求解
    lr = LinearRegression()
    # # 此时在干什么？
    lr.fit(x_train, y_train)

    y_lr_predict = std_y.inverse_transform(lr.predict(x_test))

    print(lr.coef_)

    print("正规方程预测的结果为：", y_lr_predict)

    print("正规方程的均方误差为：", mean_squared_error(y_test, y_lr_predict))

    # 梯度下降进行预测
    sgd = SGDRegressor()
    #
    sgd.fit(x_train, y_train)
    print("SGD的权重参数为：", sgd.coef_)
    #
    y_sgd_predict = std_y.inverse_transform(sgd.predict(x_test))
    #
    print("SGD的预测的结果为：", y_sgd_predict)
    #
    # # 怎么评判这两个哪个好？
    print("SGD的均方误差为：", mean_squared_error(y_test, y_sgd_predict))

    return None

from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import mean_squared_error

def mylinearregression():
    """线性回归预测房子价格"""
    lb = load_boston()
    # print(lb.data)
    # print(lb.target)

    # # 对数据集进行划分
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.3, random_state=24)

    # 需要做标准化处理对于特征值处理
    std = StandardScaler()

    # 需要做标准化处理对于特征值处理
    x_train = std.fit_transform(x_train)
    x_test = std.fit_transform(x_test)

    # 1,使用线性模型进行预测 ---正规方程求解
    lr = LinearRegression(fit_intercept=True)

    # fit之后已经得出参数结果
    lr.fit(x_train, y_train)
    print("正规方程计算出的权重：",lr.coef_)
    print("正规方程计算出的偏置：", lr.intercept_)

    # 使用predict来预测测试集结果
    y_lr_predict = lr.predict(x_test)
    print("正规方程预测的结果为：", y_lr_predict)

    # 调用均方误差去评估LinearRegression的结果误差如何
    error = mean_squared_error(y_test,y_lr_predict)
    print("正规方程的均方误差为：", error)

    # 2,使用线性模型进行预测 ---梯度下降进行预测
    # sgd = SGDRegressor(loss="squared_loss",fit_intercept=True,learning_rate="invscaling")
    sgd = SGDRegressor(loss="squared_loss", fit_intercept=True, learning_rate="constant", eta0=0.001)
    # 使用fit训练梯度下降模型
    sgd.fit(x_train, y_train)

    print("梯度下降计算出的权重：",sgd.coef_)
    print("梯度下降计算出的偏置：", sgd.intercept_)

    # 使用predict来预测测试集结果
    y_sgd_predict = sgd.predict(x_test)
    print("梯度下降预测的结果为：", y_sgd_predict)

    # 调用均方误差去评估SGDRegressor的结果误差如何
    sgd_error = mean_squared_error(y_test,y_sgd_predict)
    print("梯度下降的均方误差为：", sgd_error)

    return None

if __name__ == "__main__":
    mylinearregression()

当我们尝试去修改学习率的时候

sgd = SGDRegressor(learning_rate='constant', eta0=0.5)

可以看到效果会更好，此时我们可以通过调参数，找到学习率效果更好的值。

这里的案例数据比较简单，所以效果非常不错。可以在数据量、特征复杂的数据中进行测试

六，正规方程和梯度下降对比

• 文字对比

梯度下降	正规方程
需要选择学习率	不需要
需要迭代求解	一次运算得出
特征数量较大可以使用	需要计算方程，时间复杂度高O(n3)

• 选择：
  • 小规模数据：
    • LinearRegression(不能解决拟合问题)
    • 岭回归
  • 大规模数据：SGDRegressor

七，关于优化方法GD、SGD、SAG

1，GD

梯度下降（Gradient Desecent）,原始的地图下降法需要计算所有样本的值才能得出梯度，计算量大，所以后面才会有一些列的改进。

2，SGD

随机梯度下降（Stochastic gradient descent）是一个优化方法。他在一次迭代时只考虑一个训练样本。

• SGD的优点是：
  • 高效
  • 容易实现
• SGD的缺点是：
  • SGD需要许多超参数：比如正则项参数、迭代数。
  • SGD对于特征标准化是敏感的。

3，SAG

随机平均梯度法（Stochasitc Average Gradient）,由于收敛的速度太慢，有人提出SAG等基于梯度下降的算法。

Scikit-learn:SGDRegressor、岭回归、逻辑回归等当中都有SAG优化

八，总结

• 线性回归的损失函数-均方误差
• 线性回归的优化方法
  • 正规方程
  • 梯度下降
• 线性回归的性能衡量方法-均方误差
• sklearn的SGDRegressor API 参数