Otsu大津算法公式推导及python实现

目录

前言

一、类间平方差是什么？

二、公式推导及实现

1.求类间平方差

2.opencv-python编程实现

2.1 引入图像并灰度化

 2.2 查看灰度值的分布情况

2.3 求全局平均阈值

2.4 求最大类间方差

3.算法的验证

总结

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前言

        OTSU（大津算法）是一种用于图像分割过程中，自动计算出一个最佳全局阈值的算法。简单来说就是通过最大类间平方差的方法来区分图像前景及背景。至于其优缺点适用范围网上资源很丰富不再过多赘述。

        然后...还想表达的就是作者是个在读研究生，算是个刚踏入机器视觉领域的新手，写这篇文章的目的一方面是想分享自己的一点想法，请各位大佬提出宝贵意见，另一方面是希望通过这种方式来记录自己的成长...

        最后，在公式推导和编程的过程中参考了两篇文章，原文链接如下：

OTSU算法（大津法—最大类间方差法）原理及实现_小武的博客-CSDN博客

（原理）

https://blog.csdn.net/sinat_29018995/article/details/114175427?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522163341713716780262563154%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=163341713716780262563154&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-​​​​​​task-blog-2~all~sobaiduend~default-2-114175427.pc_search_ecpm_flag&utm_term=otsu%E9%98%88%E5%80%BC%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AE%97%E6%B3%95python&spm=1018.2226.3001.4187

（python代码）

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一、类间平方差是什么？

        OTSU算法的核心就是类间平方差，类间平方差的想法非常简单，其实就是将图像的阈值划分为两个区域寻找这两个区域阈值间的最大方差，因为寻找出这两个区域阈值间的最大方差，就代表着这两个部分灰度值的差异最大，那么我们就可以将这个最大方差对应的阈值作为最终阈值将前景于背景区分开来。

二、公式推导及实现

1.求类间平方差

        为了更好的帮助大家理解Otsu算法，作者在这里引入一张图来解释各个参数代表的含义。

         这张图结合Otsu算法理解如下：

        首先假设存在一个阈值TH将整幅图（灰度值为0~255）分为了两个部分，第一部分是小于假定阈值TH的那部分。其中，这一部分的平均灰度值为m1，而这一部分在整幅图中出现的概率为P1。第二部分就是大于假定阈值TH的那部分。同理，这部分的平均灰度值为m2,出现的概率为P2。而M则是全局的平均阈值。（这幅图是为了理解而画，真实情况可能并非如此，要具体情况具体分析。）

        那么我们可以尝试去列一下上述参数的公式。首先是m1,m1可以想象为从0到假定阈值TH处每个灰度值与该灰度值出现的频率（或者频数）的乘积再除以该区域的总频率，就是它的平均阈值。可以这样写：

                                                               （1）

        其中：

                k——假定阈值TH

                i——灰度值

                ——每个灰度值出现的频率

                ——0~k区域每个灰度值出现概率的总和

        同理m2可以写成：

                                                             （2）

         其中：

                L：图像的像素级，通常都是255

                p2: k+1~L区域每个灰度值出现概率的总和

        上述公式提到的、也可以根据其含义列出表达式：

                                                                      （3）

                                                                  （4）

        那么全局的平均阈值可以写为：

  

​                                                                 (5)

        且有：

                                                                    （6）

       根据类间方差的概念列出类间方差表达式：

                                            (7)

       类间方差公式列出后，想要表达的内容就很清楚了，只要求出类间方差的最大值，就代表此时最大值对应的灰度值就是两个区域灰度值差异最大的那个值，并将这个值作为阈值。

        那么我们接下来要做的就是如何编程去实现这一过程。

2.opencv-python编程实现

        在介绍编程实现过程中，为大家逐步展示思路和编程，最后会统一列出供大家参考。

2.1 引入图像并灰度化

        这一步就是常规的引入图片，并转为灰度图。

import cv2
import cv2 as cv
import numpy as np
#coding:utf-8

img = cv.imread("C:/C1.jpg")
gray = cv.cvtColor(img,cv.COLOR_BGR2GRAY)

 2.2 查看灰度值的分布情况

        Opencv-python中有个Api是查看灰度直方图分布的，我们可以直接调用：

hist,bins  = np.histogram(gray.ravel(),bins = 255,density=True)

        hist:当density = True时是输出的灰度值出现的频率。

        bins：bins = 255就是将输入的数据划分为255个区域，即256个数，对应着0~255灰度值空间。

        此时我们需要观察这个灰度值的划分情况。

print("hist:",hist.shape)
print("hist:",hist)
print("bins",bins.shape)
print("bins",bins)

        在这里，通过上述的代码查看一下hist和bins的大小及类型。

 （输出数据局部图）

        通过查看bins的数据类型，作者意识到输入的图像不存在灰度值为0的地方，所以导致灰度分布是从1~255的，并且bins和hist的对应关系解读为:灰度值为1~1.99的概率为3,41011212e-05。所以如果我接下来想用hist中的频率与0~255灰度值做乘积算均值是不现实的。那么需要写一段代码，创建一个数组让灰度值为不从0开始，而取1~1.99的中间值1.5~255来确保准确性。

g = []
for i in range(1,256):
    p = (i + i +1)/2
    if i == 255:
        p = 255
    g.append(p)
g = np.array(g)

2.3 求全局平均阈值

        由公式（5）可以写出全局平均阈值的代码：

M = np.sum(np.dot(hist, g))

2.4 求最大类间方差

        求出了全局平均阈值，至于要在求出m1，m2，p1，p2就可以解决问题了。那么m1，m2我们根据公式（1）、（2）的思路去写。首先要做一个循环，因为我们只是假设存在一个阈值，但并不知道这个阈值具体是多少，但是我们知道他肯定存在于0~255之间，所以m1这个区域就在0~n中，同理m2这个区域就在n~255中，具体见代码。这样计算后将其代入公式（7）中，通过一个判断语句找出最大类间方差值，此时这个最大类间方差值对应的n就是我们要找的阈值。

max =0
for n in range(0,256):
    m1 = np.sum(np.dot(hist[0:n],g[0:n]))/np.sum(hist[0:n])
    m2 = np.sum(np.dot(hist[n:256], g[n:256]))/np.sum(hist[n:256])
    score = sum(hist[0:n])*((m1 - MG))**2 + sum(hist[n:256])*((m2 - MG))**2
    if max < score:
        max = score
        threshold = n
print("OTSU",threshold)

3.算法的验证

import cv2
import cv2 as cv
import numpy as np
#coding:utf-8

img = cv.imread("C:/C1.jpg")
gray = cv.cvtColor(img,cv.COLOR_BGR2GRAY)
hist,bins  = np.histogram(gray.ravel(),bins = 255,density=True)#输出0~255灰度等级分布概率
#查看hist长度
print("hist:",hist.shape)
print("hist:",hist)
print("bins",bins.shape)
print("bins",bins)
#创建像素级数组
g = []
for i in range(1,256):
    p = (i + i +1)/2
    if i == 255:
        p = 255
    g.append(p)
g = np.array(g)
print("g",g.shape)
print("g:",g)
#全局平均阈值 这里除pi没有意义 因为全局总pi=1
M = np.sum(np.dot(hist, g))
print("MG:",MG)
max =0
for n in range(0,256):
    m1 = np.sum(np.dot(hist[0:n],g[0:n]))/np.sum(hist[0:n])
    m2 = np.sum(np.dot(hist[n:256], g[n:256]))/np.sum(hist[n:256])
    score = sum(hist[0:n])*((m1 - MG))**2 + sum(hist[n:256])*((m2 - MG))**2
    if max < score:
        max = score
        threshold = n
print("OTSU",threshold)
#调用大津算法
ret, binary = cv.threshold(gray, 0, 255, cv.THRESH_BINARY | cv.THRESH_OTSU)
print("threshold value %s" % ret) 
cv.imshow("threshold", binary) #显示二值化图像
#调用阈值实验
ret ,result = cv.threshold(gray,threshold,255,cv.THRESH_BINARY)
cv.imshow("result",result)
print("threshold", result)
cv.imshow("orignal", img)
cv2.waitKey()

        由于图像是参与项目当中的图像不便展示，给大家看看最后我写的代码的阈值和调用Otsu二值的阈值对比吧。 

        其中，OTSU是调用API计算的结果，threshold value是自己写的代码计算的结果，总体来讲问题不大。 

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总结

        这是我第一尝试研究算法，虽然大津算法很简单，但奈何作者资质平庸仍花了很久时间才完成公式的纸质推导与opencv-python的编程实现，期间也看到了很多优质的文章，日后也会继续努力去学习。总体来说，虽然研究的这个算法意义不大，但是也改变了我以前一看公式就头疼的毛病，这次的成功也提高了以后研究算法的信心，起码认真钻研就会有所回报。加油吧

        最后的最后，希望各位大佬能够给予批评指正，学生一定认真听从改正！