柱面和表面（cylinder & surface）

柱面是指一个形状(trace/curve)沿一个方向前进形成的空间，也就是2维平面在3维空间中的1维运动，所以只有 2个 变量
表面是指一个形状运动时自身轮廓也在改变，也就是2维平面在3维空间中1维运动时的2维改变，所以有 3个 变量

1. 柱面

举个例子:

  It's a parabola opening downwards.
  当然我们可以卖弄一下学识，搞得 specific (pedantic) 一点，it's a parabola opening towards the negative part of z axis.
  这个等式只有俩变量，毫无疑问它是一个沿着y方向延伸的cylinder
  绘图如下

2. 表面

2.1 步骤：

  1. 确定表面种类
  2. 确定延伸方向
  3. 确定平面上的 trace equation
  4. 沿着 direciton axis 至少还有 两个 其他的 traces

2.2 种类：

1.椭圆体（ellipsoid）

2.双曲面（hyperboloid）

  i: 单叶双曲面（one-sheet hyperboloid）

  有且只有一个负号，我们可以对符号为负的那一项进行操作，先令其等于0，再让他等于分母的整倍数

  举个例子

  1. 令y=0，得到：

  2. 令y=3，得到：

  3. 令x=0，得到：

  4. 令z=0，得到：

  绘图如下：

明显可见沿着 direction axis(也就是y轴) 上它的轨迹是一个双曲线

  ii: 双叶双曲面（two-sheet hyperboloid）

  有两个负号
  这次我们对正数赋值，一次等于分母，一次等于分母的整倍数（注意：不能让他等于0，否则等式不成立！）

3.圆锥体（cone）

  令z=0,再令z=c

4.抛物体（paraboloid）

opens along the axis of variable with degree 1
coefficient of degree 1 variable gives direction

5.双曲抛物体(hyperbolic paraboloid)

We also call it Saddle Graph

1. plane, singled-sheeted hyperboloid and hyperbolic paraboloid are all doubly ruled surface.