HBU_神经网络与深度学习 作业7 卷积神经网络

写在前面的一些内容

本次习题来源于 神经网络与深度学习 pdf电子书的第142页（对应纸质版第127页）的习题5-2、5-3、5-4和5-7，具体内容详见 NNDL 作业7 。
水平有限，难免有误，如有错漏之处敬请指正。

习题5-2

证明宽卷积具有交换性，即公式$$rot180(\mathbf{W})\tilde{\otimes }\mathbf{X}=rot180(\mathbf{X})\otimes \tilde{\mathbf{W}}$$

首先由宽卷积定义可得：
$$y=rot180(\mathbf{W})\tilde{\otimes }\mathbf{X}=rot180(\mathbf{W})\otimes \tilde{\mathbf{X}}$$由卷积的交换律可得：
$$y=rot180(\mathbf{W})\otimes \tilde{\mathbf{X}}=\tilde{\mathbf{X}}\otimes rot180(\mathbf{W})$$这样计算得到的特征图矩阵中其中一个通道的其中一个值为：
$$y_{ij}=\tilde{\mathbf{X}}\otimes rot180(\mathbf{W})=\sum _{u=1}^U\sum _{v=1}^V{x}_{i-1+u,j-1+v}\cdot w_{u,v}$$其中$U,V$为$\mathbf{W}$的行数和列数。（翻转180°后矩阵长宽不变）

同理可得$$y_{ij}^{\prime }=rot180(\mathbf{X})\otimes \tilde{\mathbf{W}}=\sum _{a=1}^A\sum _{b=1}^B{x}_{a,b}^{\prime }\cdot w_{i-1+a,j-1+b}^{\prime }$$其中$A,B$为$\mathbf{X}$的行数和列数。

要使题给等式成立，则$y_{ij}=y_{ij}^{\prime }$
即$\tilde{\mathbf{X}}$的行数为，列数为

在上列两个式子中，参数满足：
$$\begin{gathered} a=i-u+1 \\ b=j-v+1 \end{gathered}$$则$$\begin{gathered} u=a-i+1 \\ v=y-j+1 \end{gathered}$$即
$$y_{ij}=rot180(\mathbf{X})\otimes \tilde{\mathbf{W}}=\sum _{a=i-u+1}^{U+i-1}\sum _{b=j-v+1}^{V+j-1}{x}_{a,b}\cdot w_{a-i+1,b-j+1}$$根据宽卷积的性质，宽卷积仅是进行了X的零填充，可以发现该等式仍然成立，故宽卷积也符合可交换性。

习题5-3

分析卷积神经网络中用$1\times 1$的卷积核的作用。

1. 升降维

通过控制卷积核的通道数来对特征图的通道数进行控制，以此实现升降维。

2. 增加网络深度

保证特征图的尺寸相同的情况下用$1\times 1$卷积核可以多卷积一次，这样能再应用一次卷积函数，增加非线性。

习题5-4

对于一个输入为$100\times 100\times 256$的特征映射组，使用$3\times 3$的卷积核，输出为$100\times 100\times 256$的特征映射组的卷积层，求其时间和空间复杂度。
如果引入一个$1\times 1$卷积核，先得到$100\times 100\times 64$的特征映射，再进行$3\times 3$的卷积，得到$100\times 100\times 256$的特征映射组，求其时间和空间复杂度。

单个卷积层时间复杂度的计算
$$\mathbf{T}\mathbf{i}\mathbf{m}\mathbf{e}\sim O(M^2\cdot K^2\cdot C_{in}\cdot C_{out})$$$M$：每个卷积核输出特征图的边长
$K$：每个卷积核的边长
$C_l$：每个卷积核的通道数，即输入通道数，即上一层的输出通道数
$C_{out}$：本卷积层具有的卷积核个数，即输出通道数

卷积神经网络整体时间复杂度的计算
$$\mathbf{T}\mathbf{i}\mathbf{m}\mathbf{e}\sim O(\sum _{l=1}^D{M}_l^2\cdot K_l^2\cdot C_{l-1}\cdot C_l)$$$D$：神经网络所具有的卷积层数，即网络的深度。
$l$：神经网络的第$l$个卷积层
$C_l$：神经网络第$l$个卷积层的输出通道数$C_{out}$，即该层的卷积核个数
$C_{out}$
对于第$l$个卷积层而言，其输入通道数$C_{in}$就是第$(l-1)$个卷积层的输出通道数

空间复杂度计算

包括两个部分：总参数量和各层输出特征图
$$\mathbf{S}\mathbf{p}\mathbf{a}\mathbf{c}\mathbf{e}\sim O(\sum _{l=1}^D{K}_l^2\cdot C_{l-1}\cdot C_l+\sum _{l=1}^D{M}^2\cdot C_l)$$参数量(${\sum }_{l=1}^D{K}_l^2\cdot C_{l-1}\cdot C_l$)：模型所有带参数的层的权重参数总量（即模型体积）
特征图(${\sum }_{l=1}^D{M}^2\cdot C_l$)：模型再实时运行过程中每层所计算出的输出特征图大小

根据上述内容可以计算得出时间复杂度和空间复杂度。

①时间复杂度：$256\times 100\times 100\times 256\times 3\times 3=5898240000$

空间复杂度：$256\times 100\times 100=2560000$

②时间复杂度：$64\times 100\times 100\times 256+256\times 100\times 100\times 64\times 3\times 3=1638400000$

空间复杂度：$64\times 100\times 100+256\times 100\times 100=3200000$

习题5-7

忽略激活函数，分析卷积网络中卷积层的前向计算和反向传播是一种转置关系。

卷积层的前向计算和反向传播的公式如下：
$${\delta }^{(l,d)}=f_l^{\prime }({\mathbf{Z}}^{(l,d)})\odot P\sum _{P=1}^P(rot180({\mathbf{W}}^{(l+1,p,d)})\otimes {\delta }^{(l+1,p)})$$则：
第$l$层的净输入为$z^{(l+1)}=W^{(l+1)}{z}^{(l)}$，反向传播的误差项为${\delta }^{(l)}=(W^{(l+1)}{)}^T{\delta }^{(l+1)}$
第$l+1$层的净输入为$z^{(l+1)}=(W^{(l+1)}{)}^T{z}^{(l+1)}$，反向传播的误差项为${\delta }^{(l+1)}=W^{(l+1)}{\delta }^{(l)}$
显然，忽略激活函数下前向计算和反向传播是一种转置关系。

EX

代码实现反向传播算子。

在前面实验里的卷积算子塞一个反向传播的函数就行了。

def backward(self, grad_sum):
        grad_sum = grad_sum.transpose(1, 2, 3, 0).reshape(self.out_channels, -1)
        grad_w = grad_sum.dot(self.X_col.T).reshape(self.W.shape)
        grad_bias = np.sum(_grad_sum, axis=1, keepdims=True)

        self.W = self.W_opt.update(self.W, grad_w)
        self.bias = self.bias_opt.update(self.bias, grad_bias)

        grad_sum = self.W_col.T.dot(grad_sum)
        grad_sum = column2image(grad_sum,
                                self._input.shape,
                                self.kernel_size,
                                stride=self.stride,
                                output_shape=self.padding)

        return grad_sum

总结

总的来说，收益最大的是习题5-2。在思考过程中一直在考虑如何将问题一般化。思考很久没有进展，通过同学的讨论得到了突破。下次还是用归纳法做结论题吧。