一阶、二阶和三阶随机占优

一阶随机占优 (First-degree Stochastic Dominance, FSD )

• $FSD$效用函数**（非递减效用函数）**

  • 效用函数 $U(x)$ 满足: $U^{\prime }(x)\ge 0$ 。

• $FSD$风险偏好

  使用 $FSD$ 的投资者并没有特别的风险偏好

  • 有可能是风险厌恶者
  • 有可能是风险爱好者
  • 或者在某一阶段表现为风险厌恶, 在另一阶段表现为风险爱好。

• 一阶随机占优**【累积概率分布】**

  在比较两个投资方案 $F$ 和 $G$ 时

  假设投资 $F$ 的收益的累计概率分布为 $F(R)$, 投资 $G$ 的收益的累计概率分布为 $G(R)$

  如果在所有的收益水平 $R$ 下, 有:
  $$F(R)\le G(R)$$
  且至少存在一个点使得不等号严格成立, 则称方案 $F$ 一阶随机占优于方案 $G$, 记为 $F>{}_{FSD}G$ 。【小的累积概率分布一阶随机占优大的累积概率分布】

• 由于 $FSD$ 仅对投资者的效用函数做了一阶假设 $U(x)\ge 0$, 而对投资者效用函数的二阶形式没有特别要求, 因此 $FSD$适用于具有任何形式风险倾向的投资者,
  在理论上优于其他的评价方法。然而正是由于 FSD适用面广, 使得该标准的筞选能力较低, 限制了它的实用性。

二阶随机占优 (Second-degree Stochastic Dominance, SSD)

• $SSD$ 效用函数**（边际效用递减效用函数）**

  • $U^{\prime }(x)\ge 0$,$U^{\prime \prime }(x)\le 0$ 。

• $SSD$风险偏好

  使用 $SSD$ 的投资者是风险厌恶型的

  • 不在意风险厌恶程度可以递增还是递减

• 二阶随机占优**【累积概率分布的积分】**

  在比䢂两个投资方案 $F$ 和 $G$ 时

  假设投资 $F$ 的收益的累计概率分布为 $F(R)$, 投资 $G$ 的收益的累计概率分布为 $G(R)$

  如果在所有的收益水平 $R$ 下, 有:

$${\int }_{-\infty }^{R}F(t)dt\le {\int }_{-\infty }^{R}G(t)dt\text{ 或 }{\int }_{-\infty }^R[G(t)-F(t)]dt\ge 0$$

且至少存在一个点使得不等号严格成立, 则称方案 $F$ 二阶随机占优于方案 $G$, 记 为 $F{>}_{SSD}G$ 。

三阶随机占优 (Third-degree Stochastic Dominance, TSD)

• $TSD$效用函数 $U(x)$ （绝对风险厌恶递减）

  • 效用函数 $U(x)$ 满足 $U(x)\ge 0$,$U^{\prime \prime }(x)\le 0,U^{\prime \prime \prime }(x)>0$ 。

• $TSD$风险偏好

  使用 $TSD$ 的投资者是风险厌恶的

  • 风险厌恶程度是随着财富的增加而递减的。

• 三阶随机占优【累积概率分布二重积分】

  在比䢂两个投资方案 $F$ 和 $G$ 时

  假设投资 $F$ 的收益的累计概率分布为 $F(R)$, 投资 $G$ 的收益的累计概率分布为 $G(R)$

  如果在所有的收益水平 $R$ 下, 有:
  $${\int }_{-\infty }^R{\int }_{-\infty }^{R}F(t)dtdz\le {\int }_{-\infty }^R{\int }_{-\infty }^{R}G(t)dtdz$$
  或者
  $${\int }_{-\infty }^R{\int }_{-\infty }^R[G(t)-F(t)]dtdz\ge 0$$
  且至少存在一个点使得不等号严格成立, 则称方案 $F$ 三阶随机占优于方案 $G$, 记 为 $F>{}_{TSD}G$ 。

  三者关系

  由于这三条随机占优标准在投资者风险偏好假设上的递进关系： $TSD$ 包含了$ SSD$, $SSD$ 包含了 $FSD$

  $TSD$ 有效, 则 $SSD$ 必然有效;

  $SSD$ 有效, 则 $FSD$ 必然有效,

  投资者可以根据自身的风险偏好类型, 决定采用哪一个标准。

参考文献

[1]谭妮. 基于风险偏好的投资组合模型研究[D].湖南大学,2010.