哈工大机器学习复习笔记（一）

本篇文章是在参考西瓜书、PPT课件、网络上相关博客等资料的基础上整理出的机器学习复习笔记，希望能给大家的机器学习复习提供帮助。这篇笔记只是复习的一个参考，大家一定要结合书本、PPT来进行复习，有些公式的推导最好能够自己演算一遍。由于作者水平有限，笔记中难免有些差错，欢迎大家评论留言。
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1. 概述

1.1 学习模型的分类

1.1.1 生成模型

通过数据学习联合概率分布$P(x,y)$然后求出条件概率分布$P(y|x)$作为预测的模型，即通过下式计算条件概率。
$$P(y|x)=\frac{P(x,y)}{P(x)}$$
例：朴素贝叶斯、GMM

1.1.2 判别模型

直接学习决策函数$f(x)$或者条件概率分布$P(y|x)$。
例：决策树、SVM、线性回归、逻辑回归、kNN

1.2 估计参数的方法

1.2.1 极大似然估计（MLE）

已知训练集$\mathcal{D}=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_m,y_m)\}$，假设每个样本独立同分布，则出现这种训练集的概率为$P(\mathcal{D}|\theta )={\prod }_{i=1}^{m}P({\tilde{y}}_i,x_i|\theta )$，我们的目标是找$\theta$使得$P(\mathcal{D}|\theta )$最大，即
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }P(\mathcal{D}|\theta )$$

1.2.2 最大后验估计（MAP）

假设已知训练集$\mathcal{D}=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_m,y_m)\}$和参数$\theta$的先验分布$P(\theta )$，MAP选择在这种条件下概率最大的$\theta$，即
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }P(\theta |\mathcal{D})=\arg \underset{\theta }{\max }\frac{P(\mathcal{D}|\theta )P(\theta )}{P(D)}$$

1.2.3 算法

最小二乘法、梯度下降法、共轭梯度法

2. 决策树

决策树是一种基本的分类和回归方法。课程中主要利用决策树对样本进行分类。决策树，顾名思义，有着树形结构，它由结点和有向边组成，其中

• 内部节点表示一个特征或者属性
• 叶子结点表示一种分类
• 有向边代表一种划分规则

优点：可读性强、分类速度快
决策树的学习通常包括三个步骤，分别是特征选择、决策树生成和决策树剪枝。

2.1 生成算法

生成算法可分为以下3步：

1. 选择根节点，将所有数据放在根节点;
2. 选择一个最优特征，并根据这个特征将训练数据分割成子集;
3. 递归执行上一步，直至所有数据子集都基本被正确分类，或者没有合适的特征为止.

递归返回的三种情况:

1. 当前结点包含的样本全属于同一类别，无需划分;
2. 当前属性集为空，或是所有样本在所有属性上取值相同，无法划分（标记为叶节点，将类别设置为该点所含样本最多的类别，可看做是当前节点的后验分布）;
3. 当前结点包含的样本集合为空，不能划分（标记为叶节点，类别设置为该节点父节点所含样本数最多的类别）.

2.2 特征选择

希望决策树的分支节点所包含的样本尽可能属于同一类别，即节点的“纯度”尽可能高。

切分方案

• 对于类别变量：可以考虑多路切分，一个取值对应一路切分。也可以考虑两路切分，此时将类别分成两个子集，此时需要找到最优切分方案。
• 对于连续变量：可以考虑先离散化（例如聚类等手段），转为类别变量；也可以考虑二值决策（小于V的放在一路，大于等于V的放另一路），不过计算量可能很大。

熵

假设我们要给一个数据集（属性是类别变量）编码。回顾哈夫曼编码，出现频率越多的字符会得到尽量短的编码，在这里亦然。 从信息论的角度，我们给出现概率为$p$的属性，分配${\log }_2(1/p)$的编码长度。最后来计算任意一条数据的期望编码长度：
$$H(x)=-\sum _{i}P(X=i){\log }_{2}P(X=i)$$
我们称这个期望编码长度为这个信源的熵，记作$H(x)$. 显然，若信源（这个数据集）只会产生一种属性，则熵为 0；若信源可以等概率地产生两种属性，则熵为 1。
于是我们认为，熵可以衡量一个数据集的信息“纯度”。信息越纯，熵就越低；信息越混杂，熵就越高。

条件熵

• 特定条件熵：是指$X$在给定$Y=v$这个条件时的熵$H(X|Y=v)$
  $$H(X|Y=v)=-\sum _{i}P(X=i|Y=v){\log }_{2}P(X=i|Y=v)$$
• 条件熵：是指$X$在给定$Y$条件下的熵$H(X|Y)$
  $$H(X|Y)=\sum _{v\in var(Y)}P(Y=v)H(X|Y=v)$$
• 互信息：
  $$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(Y)-H(Y|X)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)$$

相对熵（KL散度）

相对熵用于描述两个分布之间的差异，假设$P$代表真实分布，$Q$代表预测分布，那么这两个分布之间就有一个“相似度”，那么就可以描述它们之间的差异的大小，这就是相对熵。计算公式如下。
$$D_{KL}(p||q)=\sum _{i=1}^{n}p(x_i){\log }_2\frac{p(x_i)}{q(x_i)}$$
显然，$D_{KL}(p||q)\ne D_{KL}(q||p)$.

交叉熵

在机器学习中，评估一个模型的好坏，只需要计算KL散度即可，而对KL散度公式做一下变形，我们发现，只需要关注交叉熵即可：
$$\begin{array}{rl}{D}_{KL}(p||q)& =\sum _{i=1}^{n}p(x_i){\log }_{2}p(x_i)-\sum _{i=1}^{n}p(x_i){\log }_{2}q(x_i)\\ & =-H(p(x))+[-\sum _{i=1}^{n}p(x_i){\log }_{2}q(x_i)]\end{array}$$
等式的前一部分恰巧就是$p$的熵，这部分是不会变化的，而等式的后一部分，就是交叉熵
$$H(p,q)=-\sum _{i=1}^{n}p(x_i){\log }_{2}q(x_i)$$

信息增益

定义信息增益
$$Gain=Entropy(parent)-\sum _{child}\frac{N_{child}}{N_{parent}}Entropy(child)$$
信息增益实际上反映了目标类变量与属性A变量在D（样本集）上的互信息，即
$$Gain(\mathcal{D},A)=H(\mathcal{D})-H(\mathcal{D}|A)$$
特点（ID3以信息增益为准则来选择划分属性）：

• 信息增益大的特征具有更强的分类能力（如果某个特征的信息增益为0，则表示其没有什么分类能力）
• 缺点：倾向于选择具有切分分支多的属性，易导致生成的决策树不具有泛化能力

增益率

$$Gain\_ratio(\mathcal{D},A)=\frac{Gain(\mathcal{D},A)}{IV(A)}$$
其中
$$IV(A)=-\sum _{v=1}^V\frac{|{\mathcal{D}}^v|}{|\mathcal{D}|}{\log }_2\frac{|{\mathcal{D}}^v|}{|\mathcal{D}|}$$
称为属性$A$的“固有值”。属性$A$的可能取值数目越多，则$IV(A)$的值通常也会越大。

特点：

• 本质上是对信息增益乘以加权系数，当特征A取值集合较大时加权系数较小，表示抑制该特征，反之亦成立
• 缺点：对可取值数目较少的属性有所偏好

C4.5算法先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率较高的，即综合考虑信息增益和增益率。

2.3 剪枝算法

Occam’s 剃刀：选择适合训练集合数据的最简单假设

2.3.1 预剪枝

在算法变成一棵完全成熟的树之前停止它，节点的典型停止情况:

• 如果所有实例都属于同一个类，则停止
• 如果所有属性值都相同，则停止

更多的限制条件:

• 如果实例数量少于用户指定的阈值，则停止；
• 如果实例的类分布与可用的特征无关，停止(例如，使用$${\chi }^2$检验)；
• 如果扩展当前节点不能改善混杂度量(例如，基尼系数或信息增益)，停止。

特点：

• 不仅降低了过拟合的风险，还显著减少了决策树的训练时间；
• 有些划分虽然当前无法带来泛化性能的提升，甚至可能导致泛化性能暂时下降，但在其基础上进行的后续划分却有可能导致性能显著提高。因此，预剪枝基于“贪心”本质禁止这些分支展开，可能存在欠拟合的风险。

2.3.2 后剪枝

使决策树完整生长，以自底向上的方式修剪决策树的节点，如果修剪后泛化误差有所改善，则用叶节点替换子树，叶节点的类标签由子树中的大多数实例类确定，可以使用MDL (Minimum Description Length)进行后剪枝。

特点：

• 后剪枝决策树通常比预剪枝决策树保留了更多的分支，欠拟合风险较小，且泛化性能往往优于预剪枝决策树；
• 训练时间开销比未剪枝决策树和预剪枝决策树要大得多。

2.4 缺失值处理

给定训练集$\mathcal{D}$和属性$A$，令$\tilde{\mathcal{D}}$表示$\mathcal{D}$中$A$属性没有缺失值的样本子集，$\widetilde{{\mathcal{D}}^i}$表示$\tilde{\mathcal{D}}$中$A$属性取值为$a_i$的样本子集，$\widetilde{{\mathcal{D}}_k}$表示$\tilde{\mathcal{D}}$中第$k$类的样本子集。为每个样本赋予一个权重$w_x$，并定义
$$\begin{gathered} \rho =\frac{{\sum }_{x\in \tilde{\mathcal{D}}}{w}_x}{{\sum }_{x\in \mathcal{D}}{w}_x} \\ {\tilde{p}}_k=\frac{{\sum }_{x\in {\tilde{\mathcal{D}}}_k}{w}_x}{{\sum }_{x\in \tilde{\mathcal{D}}}{w}_x} \\ {\tilde{r}}_v=\frac{{\sum }_{x\in {\tilde{\mathcal{D}}}^v}{w}_x}{{\sum }_{x\in \tilde{\mathcal{D}}}{w}_x} \end{gathered}$$
直观地看，$\rho$表示无缺失值样本所占的比例，${\tilde{p}}_k$表示无缺失值样本中第$k$类所占的比例，${\tilde{r}}_v$则表示无缺失值样本中在属性$A$上取值为$A^v$的样本所占的比例。
信息增益公式的推广
$$\begin{array}{rl}Gain(\mathcal{D},A)& =\rho \times Gain(\tilde{\mathcal{D}},A)\\ & =\rho \times (Ent(\tilde{\mathcal{D}})-\sum _{v=1}^V{\tilde{r}}_{v}Ent({\tilde{\mathcal{D}}}^v))\end{array}$$

• 如果$x$在属性$A$上的取值已知，则正常划分且保持权重$w_x$；
• 如果$x$在属性$A$上的取值缺失，则将该样本同时划入所有子结点，且样本权值在与属性$A^v$对应的子结点中调整为${\tilde{r}}_v\cdot w_x$.

3. 曲线拟合（Lab1）

3.1 线性回归和最小二乘法

给定数据集$\mathcal{D}=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_m,y_m)\}$，其中$x_i$为$d$维向量。线性回归模型试图学得
$$f(x_i)=w^T{x}_i+b\backsimeq y_i$$
为便于讨论，我们把$b$看做是$w_0$，进而吸收进$w$向量中。相应的，把数据集$\mathcal{D}$表示为一个$m\times (d+1)$大小的矩阵$X$，其中每行对应于一个样本，把每行的第一个元素设为1，其余的$d$个元素对应于样本的$d$个属性值，即
X = [ 1 x 11 x 12 ⋯ x 1 d 1 x 21 x 22 ⋯ x 2 d ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 x m 1 x m 2 ⋯ x m d ] X= \begin{bmatrix} 1 & x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1d} \\ 1 & x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2d} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{md} \end{bmatrix} X= ​11⋮1​x11​x21​⋮xm1​​x12​x22​⋮xm2​​⋯⋯⋱⋯​x1d​x2d​⋮xmd​​ ​
定义误差函数
$$E(w)=(y-Xw{)}^T(y-Xw)$$
利用最小二乘法，我们需要求解$w^{\ast }$使得上式最小，即
$$w^{\ast }=\arg \underset{w}{\min }E(w)$$
先将$E(w)$展开，得到
$$\begin{array}{rl}E(w)& =(y^T-w^T{X}^T)(y-Xw)\\ & =y^{T}y-y^{T}Xw-w^T{X}^{T}y+w^T{X}^{T}Xw\\ & =y^{T}y-2w^T{X}^{T}y+w^T{X}^{T}Xw\end{array}$$
对$w$求导得
$$\frac{\partial E(w)}{\partial w}=2X^{T}Xw-2X^{T}y$$
令偏导数等于0，可得
$$X^{T}Xw=X^{T}y$$
如果$(X^{T}X{)}^{-1}$存在，那么
$$w^{\ast }=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$
注：$w^{T}Aw$对$w$求偏导通常应该等于$Aw+A^{T}w$，但由于这里$A=X^{T}X$是对称阵，故
$$\frac{\partial (w^T{X}^{T}Xw)}{\partial w}=2X^{T}Xw$$
如果$(X^{T}X{)}^{-1}$不存在，那么$X^{T}Xw=X^{T}y$的解不唯一，选择哪一个解作为输出，将由学习算法的归纳偏好决定，常见的做法是引入正则化项，即倾向于选择$||w||$较小的解。

3.2 多项式拟合

本质上等价于线性拟合，只不过线性拟合的输入$X$变为
X = [ 1 x 1 x 1 2 ⋯ x 1 m 1 x 2 x 2 2 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 x N x N 2 ⋯ x N m ] X= \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^m \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^m \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_N & x_N^2 & \cdots & x_N^m \end{bmatrix} X= ​11⋮1​x1​x2​⋮xN​​x12​x22​⋮xN2​​⋯⋯⋱⋯​x1m​x2m​⋮xNm​​ ​
其余求解步骤和线性回归相似。

3.3 过拟合

我们刚刚的拟合过程，只对数据负责，不对分布负责，亦即不对未来的数据负责。最小二乘法只保证了“对于这些给定的点而言，我拟合出的超平面是最好的”；没有保证对于其他的点，也能与实际情况一致。此时，模型只注重于提升“在当前数据集下的性能”，亦即把训练误差降得很低；但没有考虑泛化能力，从而测试误差会很高。
我们在多项式拟合的过程中观测到，产生过拟合时，$w$的各个参数往往具有大的绝对值。于是我们考虑能不能在训练误差较小的同时，让$w$尽可能小。办法就是往误差函数里面加惩罚项（亦称正则项）：$w$的参数越大，惩罚项越大，会增加误差。显然，当误差最小时，应该训练误差很小、惩罚项也很小。于是误差式（在最小二乘误差的基础上）改为
$$\tilde{E}(w)=E(w)+\frac{\lambda }{2}||w|{|}^2$$

• 当惩罚项比重较大时会降低模型复杂度，有可能会出现欠拟合的情况；
• 当惩罚项比重适当时模型复杂度与问题匹配，能较好地拟合数据，并且有一定的泛化能力；
• 而当惩罚项比重较小时，会逐渐退化为原模型，这时有过拟合的风险。

4. 统计学习的建模工具

4.1 高斯分布

一维高斯分布
$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\}$$
多维高斯分布
$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^k|\Sigma |}}\exp \{-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x-\mu )\}$$

4.2 贝叶斯公式

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$
更一般的形式
$$P(Y=y|X)=\frac{P(X|Y=y)P(Y=y)}{{\sum }_{y}P(X|Y=y)P(Y=y)}$$

4.3 极大似然估计（MLE）

已知训练集$\mathcal{D}=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_m,y_m)\}$，假设每个样本独立同分布，则出现这种训练集的概率为$P(\mathcal{D}|\theta )={\prod }_{i=1}^{m}P({\tilde{y}}_i,x_i|\theta )$，我们的目标是找$\theta$使得$P(\mathcal{D}|\theta )$最大，即
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }P(\mathcal{D}|\theta )$$

过拟合

在伯努利分布（Example 1）中，我们有
$${\hat{\theta }}^{head}=\frac{n^{head}}{n^{head}+n^{tail}}$$
如果在训练集中，由于样本数量较少导致$n^{head}=0$，那么就会有${\hat{\theta }}^{head}=0$，我们就会预测硬币正面朝上的概率为零，这显然是不合理的。

解决方案：Smoothing

上式可被修正为
$${\hat{\theta }}^{head}=\frac{n^{head}+n^{\prime }}{n^{head}+n^{tail}+n^{\prime }}$$
其中$n^{\prime }$是伪（虚拟）计数。

4.4 最大后验估计（MAP）

我们抛硬币10次，其中8次朝上，按照MLE的思路，这个硬币抛出正面朝上的概率就是0.8，然而实际生活中，我们不太会据此判断抛这个硬币八成正面朝上。这是因为我们见过的硬币都是比较均匀的，我们有“硬币一般是均匀的”这一个先验知识。
MLE的思想中，实际参数$\theta$是一个定值，我们需要通过观测，来直接估计这个值，没有利用任何先验知识。而贝叶斯思想中，$\theta$是一个随机变量，不同的取值概率是不一样的，具体的概率分布是由我们依据经验来估计。比如我们可以估计，硬币“正面朝上”的概率服从以0.5为均值的正态分布。
最大后验方法(MAP)不是尝试最大化$P(\mathcal{D}|\theta )$，而是尝试最大化$P(\theta |\mathcal{D})$. 也就是说，MLE是对于每一个$\theta$，比较参数$\theta$生成这个数据集的概率，是在$\theta$指定的情况下求生成数据集$\mathcal{D}$的概率；MAP是考虑在数据集已知的情况下，$\theta$最有可能的取值，是在数据集$\mathcal{D}$给定的情况下，求$\Theta =\theta$的概率。
假设已知训练集为$\mathcal{D}$，参数$\theta$的先验分布$P(\theta )$，MAP选择在这种条件下概率最大的$\theta$，即
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }P(\theta |\mathcal{D})=\arg \underset{\theta }{\max }\frac{P(\mathcal{D}|\theta )P(\theta )}{P(D)}$$
另外，我们注意到
$$P(\theta |\mathcal{D})=\frac{P(\mathcal{D}|\theta )P(\theta )}{P(D)}\propto P(\mathcal{D}|\theta )P(\theta )$$
因此最后的优化的式子变为
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }P(\mathcal{D}|\theta )P(\theta )$$

值得注意的是，当样本数量较少时，MAP会倾向于先验概率；而当样本数量较大时，先验概率起到的作用微乎其微，MAP受似然值主导。

两种参数估计方法的对比和缺点

对比

• MLE中$\theta$是一个未知的常数，需要从数据中进行估计；MAP中$\theta$是一个随机变量，我们假设了它的先验分布
• 如果MAP中$\theta$的先验服从均匀分布，则两种估计得到的结果相同
  缺点
• MLE：如果数据集太小容易过拟合
• MAP：两个有着不同先验的人将会得到不同的估计

5. 贝叶斯判别

贝叶斯决策论，在分类任务中是在所有相关概率都已知的理想情形下，考虑如何基于这些概率和误判损失来选择最优的类别标记。

5.1 决策面推导

假设我们正在分类一个样本。对于每一个类，我们已知这个类生成这个样本的概率。那么现在想要判断某个样本$x$出自哪个类别，只需要知道 $P(Y=i|X=x)$，亦即
$$P(Y=i|x)=\frac{P(x|Y=i)P(Y=i)}{P(x)}=\frac{{\pi }_i{p}_i(x)}{{\sum }_k{\pi }_k{p}_k(x)}=q_i(x)$$
其中$p_i(x)=P(x|Y=i)$，$p_i(x)$称为似然函数。
在执行判别时，分母显然是个定值，我们只需要判断分子的大小。也就是说，若${\pi }_a{p}_a(x)>{\pi }_b{p}_b(x)$，我们就判断$a$类胜出。写成另一种形式，即
$$l_{ab}=\frac{p_a(x)}{p_b(x)}>\frac{{\pi }_b}{{\pi }_a}$$
上式中$l_{ab}$称为似然比，$\frac{{\pi }_b}{{\pi }_a}={\theta }_{ba}$称为判决阈值。 这种判别方式就是贝叶斯判别。
与之等价地，实践上可以两边取对数，再比较。决策函数是：
$$h(X)=-\ln p_1(X)+\ln p_2(X)>\ln \frac{{\pi }_1}{{\pi }_2}$$
以二分类为例，如下图所示，两类分布均满足二维高斯分布

假设类别先验（class prior）如下
$$\begin{gathered} P(Y=1)=\theta \\ P(Y=-1)=1-\theta \end{gathered}$$
当每个类别均是高斯分布时，我们可以得到一维决策面（decision boundary）
$$P(Y=1|X)=\frac{P(X|Y=1)P(Y=1)}{P(X)}=\frac{\theta \frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}|{\Sigma }_1{|}^{\frac{1}{2}}}\exp \{-\frac{1}{2}(X-{\mu }_1{)}^T{\Sigma }_1^{-1}(X-{\mu }_1)\}}{P(X)}$$$$P(Y=-1|X)=\frac{P(X|Y=-1)P(Y=-1)}{P(X)}=\frac{(1-\theta )\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}|{\Sigma }_2{|}^{\frac{1}{2}}}\exp \{-\frac{1}{2}(X-{\mu }_2{)}^T{\Sigma }_2^{-1}(X-{\mu }_2)\}}{P(X)}$$
令$P(Y=1|X)/P(Y=-1|X)=1$有（决策面）
$$\begin{array}{rl}1& =\frac{\theta }{1-\theta }\sqrt{\frac{{\Sigma }_2}{{\Sigma }_1}}\exp \{\frac{1}{2}(X-{\mu }_2{)}^T{\Sigma }_2^{-1}(X-{\mu }_2)-\frac{1}{2}(X-{\mu }_1{)}^T{\Sigma }_1^{-1}(X-{\mu }_1)\}\\ & =\frac{\theta }{1-\theta }\sqrt{\frac{{\Sigma }_2}{{\Sigma }_1}}\exp \{\frac{1}{2}(X^T-{\mu }_2^T){\Sigma }_2^{-1}(X-{\mu }_2)-\frac{1}{2}(X^T-{\mu }_1^T){\Sigma }_1^{-1}(X-{\mu }_1)\}\end{array}$$
两边取对数得
$$\begin{array}{rl}0& =\ln \frac{\theta }{1-\theta }+\ln \sqrt{\frac{{\Sigma }_2}{{\Sigma }_1}}+\frac{1}{2}[(X^T-{\mu }_2^T){\Sigma }_2^{-1}(X-{\mu }_2)-(X^T-{\mu }_1^T){\Sigma }_1^{-1}(X-{\mu }_1)]\\ & =\ln \frac{\theta }{1-\theta }+\ln \sqrt{\frac{{\Sigma }_2}{{\Sigma }_1}}+\frac{1}{2}[(X^T{\Sigma }_2^{-1}X-X^T{\Sigma }_2^{-1}{\mu }_2-{\mu }_2^T{\Sigma }_2^{-1}X+{\mu }_2^T{\Sigma }_2^{-1}{\mu }_2)\\ & -(X^T{\Sigma }_1^{-1}X-X^T{\Sigma }_1^{-1}{\mu }_1-{\mu }_1^T{\Sigma }_1^{-1}X+{\mu }_1^T{\Sigma }_1^{-1}{\mu }_1)]\end{array}$$
若${\Sigma }_1={\Sigma }_2$，则
$$\begin{array}{rl}0& =\ln \frac{\theta }{1-\theta }+\frac{1}{2}[-2X^T{\Sigma }^{-1}{\mu }_2+{\mu }_2^T{\Sigma }_2^{-1}{\mu }_2+2X^T{\Sigma }^{-1}{\mu }_1-{\mu }_1^T{\Sigma }_1^{-1}{\mu }_1]\\ & =\ln \frac{\theta }{1-\theta }+X^T({\Sigma }^{-1}{\mu }_1-{\Sigma }^{-1}{\mu }_2)+\frac{1}{2}({\mu }_2^T{\Sigma }^{-1}{\mu }_2-{\mu }_1^T{\Sigma }^{-1}{\mu }_1)\end{array}$$
由此得到了一个关于$X$的线性分类器，亦即分类面是一条直线（二维的情况）。

5.2 贝叶斯误差

首先定义
$$\begin{gathered} p_1(X)=P(X|Y=1),p_2(X)=P(X|Y=-1) \\ {q}_1(X)=P(Y=1|X),q_2(X)=P(Y=-1|X) \\ {\theta }_1=\theta ,{\theta }_2=1-\theta \end{gathered}$$
风险
$$r(X)=\min [q_1(X),q_2(X)]$$
则贝叶斯误差（风险的期望）
$$\begin{array}{rl}ϵ& =E(r(x))=\int r(x)p(x)dx\\ & =\int \min [q_1(x),q_2(x)]p(x)dx\\ & =\int \min [\frac{{\theta }_1{p}_1(x)}{p(x)},\frac{{\theta }_2{p}_2(x)}{p(x)}]p(x)dx\\ & =\int \min [{\theta }_1{p}_1(x),{\theta }_2{p}_2(x)]dx\\ & =\theta {\int }_{L_2}{p}_1(x)dx+(1-\theta ){\int }_{L_1}{p}_2(x)dx\end{array}$$
用图例来表示

贝叶斯分类器是理论上最好的分类器，因为它最小化了分类错误的概率。
如上图所示，贝叶斯分类器选择$x=x_0$作为决策面，这时风险的期望为$ϵ=S_A+S_B+S_C$；而如果选择其他决策面（例如$x=\hat{x}$），则${ϵ}^{\prime }=S_A+S_B+S_C+S_D>ϵ$。故贝叶斯分类器可以最小化风险的期望，从而使出错的概率最小。

2020年第二题

$Y$为类别（两类，$Y=0$和$Y=1$）随机变量，将真实类为$1$的样本判断为类$0$造成的损失为$a$，反之为$b$，如下表所示。那么期望损失最小意义下的分类准则？并用图例说明。

Y	0	1
0	0	a
1	b	0

首先定义
$$\begin{gathered} p_0(X)=P(X|Y=0),p_1(X)=P(X|Y=1) \\ {q}_0(X)=P(Y=0|X),q_1(X)=P(Y=1|X) \\ {\theta }_0=\theta ,{\theta }_1=1-\theta \end{gathered}$$
根据题意，对风险做出定义
$$\begin{array}{rl}r(X|Y=0)& =aP(Y=1|X)\\ r(X|Y=1)& =bP(Y=0|X)\end{array}$$
如果希望风险尽可能小，那么对于每个$X$，我们都应该让它的风险尽量小，即选择$r(X|Y=0)$和$r(X|Y=1)$中的较小值。所以，在期望损失最小意义下，
$$\begin{array}{rl}r(X)& =\min \{aP(Y=1|X),bP(Y=0|X)\}\\ & =\min \{a{q}_1(X),b{q}_0(X)\}\end{array}$$
此时风险的期望
$$\begin{array}{rl}ϵ& =E(r(x))=\int r(x)p(x)dx\\ & =\int \min [a{q}_1(x),b{q}_0(x)]p(x)dx\\ & =\int \min [\frac{a{\theta }_1{p}_1(x)}{p(x)},\frac{b{\theta }_0{p}_0(x)}{p(x)}]p(x)dx\\ & =\int \min [a{\theta }_1{p}_1(x),b{\theta }_0{p}_0(x)]dx\\ & =a(1-\theta ){\int }_{L_0}{p}_1(x)dx+b\theta {\int }_{L_1}{p}_0(x)dx\end{array}$$
用图例来表示

在期望损失最小意义下，决策面$x=x_0$满足
$$a{\theta }_1{p}_1(x_0)=b{\theta }_0{p}_0(x_0)$$

• 当$a{\theta }_1{p}_1(x_0)>b{\theta }_0{p}_0(x_0)$时，我们把$x$分为第1类
• 当$a{\theta }_1{p}_1(x_0)<b{\theta }_0{p}_0(x_0)$时，我们把$x$分为第0类

如上图所示，我们选择$x=x_0$作为决策面，这时风险的期望为$ϵ=S_A+S_B+S_C$；而如果选择其他决策面（例如$x=\hat{x}$），则${ϵ}^{\prime }=S_A+S_B+S_C+S_D>ϵ$。故我们的分类器可以最小化风险的期望，从而使出错的概率最小。
注：在贝叶斯判别中，$a=b=1$，实际上是这一题的特殊情况。

5.3 KNN分类器

kNN的思想如下：对于一个个案，找到它附近的$k$个个案（邻居），把这些邻居的类别的众数作为自己的类别。

kNN是比较接近于最优解的。有证据证明，渐近情况下，1-临近的分类器的误差小于2倍贝叶斯误差，不过这毕竟是理论结果。另外，若贝叶斯分类器误差为0，渐进地，k-临近的误差也会为0。

非参数估计

基本形式如下
$$\hat{p}(X)=\frac{1}{N}\frac{k(X)}{V}$$

其中，$k$为落在$X$临近区域$R$的数据点数量，$V$为区域$R$的体积，$N$为样本总数。
对于kNN而言，我们对上式稍作修改，得到新的密度估计
$$\hat{p}(X)=\frac{1}{N}\frac{k-1}{V(X)}$$
基于这个估计，可以得到贝叶斯判别的决策函数为
$$h(X)=-\ln \frac{p_1(X)}{p_2(X)}=-\ln \frac{(k_1-1)N_2{V}_2(X)}{(k_2-1)N_1{V}_1(X)}>\ln \frac{{\pi }_1}{{\pi }_2}$$
对于Voting KNN分类器而言，$k_1+k_2=k$，$V_1=V_2$，$N_1=N_2$。

kNN是基于实例的学习。需要确定一个距离函数，需要确定超参数$k$，然后kNN会根据手上已有的实例来进行分类。常用的距离函数有欧氏距离（L2范数）、曼哈顿距离（L1范数）、马氏距离等。
马氏距离的计算公式如下
$$D(x,x^{\prime })=\sqrt{\sum _i{\sigma }_i^2(x_i-x_i^{\prime }{)}^2}\iff D(x,x^{\prime })=\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^T\Sigma (x-x^{\prime })}$$

总结

• kNN不具有显式的学习过程，它直接基于实例对样本进行预测（惰性学习的代表）；
• kNN是非参数学习算法，它没有任何参数需要学习（$k$是超参数，不是需要学习的参数）；
• 当训练样本数量较大时kNN的精度较高；
• 当数据很大的情况下kNN的计算成本较高；
• 若某一个类的个案特别多，如果$k$选得稍大了一点，就会导致错误分类（极端情况，$k\to +\infty$时，则kNN会直接把样本分到具有样本数量最多的类别）。

哈工大机器学习复习笔记（一）
哈工大机器学习复习笔记（二）
哈工大机器学习复习笔记（三）
哈工大机器学习复习笔记（四）