TSP问题——启发式算法求解
引言
TSP(旅行商问题)，一个旅行商需要途径14个城市，不可以返回已经走过的城市。每个城市有对于的坐标，求旅行商走完14个城市的最短路径。
1. 贪婪算法
贪婪算法即每一步都采取最优解，即每一次都选择与所在城市距离最短的城市。初始城市随机设定。该方法简洁，但是寻找最优解的精度不够。
当城市数量达到一定数量后，容易陷入局部最优。
%% 贪心算法解决TSP问题
%% 坐标数据初始化
clear; clc; close all
load CityPosition1.mat
%% 建立距离矩阵
amount = size(X,1); % 城市的数目
% 通过向量化的方法计算距离矩阵
% 计算矩阵中两两点之间的距离，可以通过转置相减的方法
coor_x_tmp1 = repmat(X(:,1),1,amount);
coor_x_tmp2 = coor_x_tmp1';
coor_y_tmp1 = repmat(X(:,2),1,amount);
coor_y_tmp2 = coor_y_tmp1';
D = sqrt((coor_x_tmp1-coor_x_tmp2).^2 + (coor_y_tmp1-coor_y_tmp2).^2);
%% 贪婪算法求解最短距离
city_order = linspace(1,14,14); % 城市标号
stp = randperm(14,1); % 随机选择一个点作为初始点
city_order(stp) = []; % 从城市标号中删去该点
visit = [stp]; % 用于存放已经访问的城市
obj = 0; % 用于保存最短路径
for i = 1:13
dis = []; % 用来存放将要访问城市的距离
for k = [city_order]
distance = D(stp,k);
dis = [dis,distance];
end
dis_min = min(dis);
obj = obj + dis_min;
m = find(dis == dis_min);
visit = [visit,city_order(m)];
stp = city_order(m);
city_order(m) = [];
end2. 模拟退火算法
模拟退火算法(Simulated Annealing，SA)最早的思想是由N. Metropolis等人于1953年提出。1983 年,S. Kirkpatrick 等成功地将退火思想引入到组合优化领域。它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。模拟退火算法从某一较高初温出发，伴随温度参数的不断下降,结合概率突跳特性解空间中随机寻找目标函数的全局最优解，即在局部最优解能概率性地跳出并最终趋于全局最优。
求解TSP问题中，初始解为1-14的序列。新解的产生有两种方式，一种为二交换，即交换其中两个数字的位置；另一种为三交换。其他算法部分与常规的模拟退火相同。
在编写模拟退火算法时，最好加入CV函数，本题没用到约束条件，因此CV（罚函数）=0。遇到有约束条件的问题，采用罚函数处理时最简洁的。
%% 模拟退火解决旅行商问题
%% 坐标数据初始化
clear; clc; close all
load CityPosition1.mat
%% 建立距离矩阵
city_order = linspace(1,14,14); % 城市标号
amount = size(X,1); % 城市的数目
% 通过向量化的方法计算距离矩阵
% 计算矩阵中两两点之间的距离，可以通过转置相减的方法
coor_x_tmp1 = repmat(X(:,1),1,amount);
coor_x_tmp2 = coor_x_tmp1';
coor_y_tmp1 = repmat(X(:,2),1,amount);
coor_y_tmp2 = coor_y_tmp1';
D = sqrt((coor_x_tmp1-coor_x_tmp2).^2 + (coor_y_tmp1-coor_y_tmp2).^2);
%% 模拟退火算法确定最短路径
%% 设置求解问题的参数
problem.numVar = 14; %变量个数
problem.fun = @(x,D)obj_fun(x,D); %优化目标函数名称
problem.fun_CV = @(x)obj_fun_CV(x); %约束条件
%% 模拟退火的参数
SAParameters.temperature = 1000; % 初始温度 设置的足够大的话，可以在初始拥有更好的性能
SAParameters.kb = 0.3; % 温度系数
SAParameters.alpha = 0.99; % 降温系数
SAParameters.penalty = 1.5; % 惩罚系数
SAParameters.num = 1000; % 马尔可夫链长度
SAParameters.Tmin = 1; % 结束温度
%% 初始化解 产生一个可行解 实际上因为加入了罚函数可以考虑直接生成一个范围内的解即可
while(1)
variables = 1:amount; variables = variables'; % 初始化一条可行的路径
CV = problem.fun_CV(variables);
if(CV==0)
break;
end
end
var_final = variables; % 初始化最终最优解
T = SAParameters.temperature; % 初始化温度
E0_OBJ = problem.fun(variables,D); % 初始化目标函数值
E0_CV = problem.fun_CV(variables); % 初始化CV值
E0 = E0_OBJ+SAParameters.penalty*E0_CV; % 最终目标值
E_OBJ_f = E0; % 初始化最佳温度
while (T>=SAParameters.Tmin) % 开始降温
for i = 1:SAParameters.num % 马尔科夫链
%% 通过二交换或三交换产生一个新解
if (rand < 0.5) % 随机决定是进行两交换还是三交换
% 两交换法产生新的解
ind1 = 0; ind2 = 0;
while (ind1 == ind2)
ind1 = ceil(rand.*amount);
ind2 = ceil(rand.*amount);
end
tmp1 = variables(ind1);
variables(ind1) = variables(ind2);
variables(ind2) = tmp1; % 随机交换2个变量的位置
else
% 三交换法产生新的解
ind1 = 0; ind2 = 0; ind3 = 0;
while (ind1 == ind2) || (ind1 == ind3) ...
|| (ind2 == ind3) || (abs(ind1-ind2) == 1)
ind1 = ceil(rand.*amount);
ind2 = ceil(rand.*amount);
ind3 = ceil(rand.*amount);
end
tmp1 = ind1;tmp2 = ind2;tmp3 = ind3;
% 确保ind1 < ind2 < ind3
if (ind1 < ind2) && (ind2 < ind3)
elseif (ind1 < ind3) && (ind3 < ind2)
ind2 = tmp3;ind3 = tmp2;
elseif (ind2 < ind1) && (ind1 < ind3)
ind1 = tmp2;ind2 = tmp1;
elseif (ind2 < ind3) && (ind3 < ind1)
ind1 = tmp2;ind2 = tmp3; ind3 = tmp1;
elseif (ind3 < ind1) && (ind1 < ind2)
ind1 = tmp3;ind2 = tmp1; ind3 = tmp2;
elseif (ind3 < ind2) && (ind2 < ind1)
ind1 = tmp3;ind2 = tmp2; ind3 = tmp1;
end
tmplist1 = variables((ind1+1):(ind2-1));
variables((ind1+1):(ind1+ind3-ind2+1)) = variables((ind2):(ind3));
variables((ind1+ind3-ind2+2):ind3) = tmplist1;
end
%% 移动后的目标值计算
E_OBJ = problem.fun(variables,D); % 移动后的目标函数值
E_CV = problem.fun_CV(variables); % 移动后的CV值
E = E_OBJ+SAParameters.penalty*E_CV;
dE = E-E0;
if (E_OBJ<=E_OBJ_f && E_CV==0)
var_final = variables; % 保留精英
E_OBJ_f=E_OBJ;
end
prob=exp(-dE/SAParameters.kb/T);
if(dE>0 && rand()>prob)
var_final = variables; % 还原
end
E0_OBJ=problem.fun(variables,D); %初始目标函数值
E0_CV=problem.fun_CV(variables); %初始CV值
E0=E0_OBJ+SAParameters.penalty*E0_CV;
end
T = T*SAParameters.alpha; % 降温
end
function f = obj_fun(var,D) % 目标函数
f = 0;
for i=1:13
f = f + D(var(i),var(i+1));
end
end
function CV = obj_fun_CV(x) % 约束条件函数
CV = 0;
end
3. 遗传算法
遗传算法的起源可追溯到20世纪60年代初期。1967年,美国密歇根大学J. Holland教授的学生 Bagley在他的博士论文中首次提出了遗传算法这一术语,并讨论了遗传算法在博弈中的应用,但早期研究缺乏带有指导性的理论和计算工具的开拓。1975年, J. Holland等提出了对遗传算法理论研究极为重要的模式理论,出版了专著《自然系统和人工系统的适配》,在书中系统阐述了遗传算法的基本理论和方法,推动了遗传算法的发展。20世纪80年代后,遗传算法进入兴盛发展时期，被广泛应用于自动控制、生产计划、图像处理、机器人等研究领域。
本题中，由于初始解为序列形式，本质上可以视为染色体编码，因此交叉操作可以采用二交换法，变异操作采用三交换法。选择与竞标赛操作与常规遗传算法相同。当迭代次数达到1000次以上后，遗传算法求解的效果为三种方法中最佳的。
主函数
%% 遗传算法解决TSP问题
clc;clear;
%% 数据初始化
addpath('obj_function');%将目标函数文件夹添加到搜索路径中 包含两个文件 一个存放目标函数 一个存放约束条件
load CityPosition1.mat
city_order = linspace(1,14,14); % 城市标号
amount = size(X,1); % 城市的数目
% 通过向量化的方法计算距离矩阵
% 计算矩阵中两两点之间的距离，可以通过转置相减的方法
coor_x_tmp1 = repmat(X(:,1),1,amount);
coor_x_tmp2 = coor_x_tmp1';
coor_y_tmp1 = repmat(X(:,2),1,amount);
coor_y_tmp2 = coor_y_tmp1';
D = sqrt((coor_x_tmp1-coor_x_tmp2).^2 + (coor_y_tmp1-coor_y_tmp2).^2);
%% 设置问题的参数
problem.name = 'OBJ_Fitness';
problem.numVar = 14; %变量个数
problem.fun = @(x,D)OBJ_Fitness(x,D); % 优化目标函数名称
problem.fun_CV = @(x)OBJ_Fitness_CV(x); % 约束条件
%% 遗传算法参数 结构体变量
GAParameters.popsize = 40; % 种群大小
GAParameters.maxgen = 50; % 最大进化代数
GAParameters.pc = 0.7; % 交叉概率
GAParameters.pm = 0.4; % 变异概率
GAParameters.psm = 0.1; % 进行模拟退火运算的概率
GAParameters.alpha = 0.9; % 模拟退火的降温系数
GAParameters.temperature = 100; % 模拟退火的温度
GAParameters.step = 3; % 模拟退火的基本步数 为整数
%% 种群初始化
P = initialize_pop(problem,GAParameters,D);
%% 主程序
k = 0;
% P表示父种群 Q表示子种群
while k < GAParameters.maxgen
P = sort_pop(P); % 按照适应度和CV值排序大小对种群进行排序
Q = tournament_select(P,GAParameters); % 锦标赛选择
%% 遗传操作
Q=simulated_binary_cross(problem,GAParameters,Q,D);%模拟二进制交叉
Q=polynomal_mutate(Q,problem,GAParameters,D);%多项式变异
R=[P;Q];%P和Q混合
R=sort_pop(R);
P = R(1:GAParameters.popsize);%产生新一代群体
k = k+1;%更新迭代次数
end
% 最优值
obj = min([P.obj]);
vmin = P.var;种群初始化函数
遗传算法基本参数设置，每个种群初始染色体编码的话就全部设置为1-14的序列。
%% 初始化种群
function pop = initialize_pop(problem,GAParameters,D)
individual.var = 0; % 个体的变量值
individual.obj = 0; % 个体的目标值
individual.CV = 0; % 个体的CV值
pop = repmat(individual,GAParameters.popsize,1); % 产生种群大小的个体
numVar = problem.numVar; % 变量的个数
variables = linspace(1,numVar,numVar); % 变量元素初始化
for k = 1:GAParameters.popsize
pop(k).var = variables; %给每一个个体（染色体）赋值
pop(k).obj = problem.fun(variables,D); %每一个染色体的目标函数值适应度
pop(k).CV = problem.fun_CV(variables); %每一个个体的约束情况 CV值
end
end交叉函数
交叉函数采用二变换，即任意交换序列中两个元素的位置。
%% 交叉操作
function value_new = simulated_binary_cross(problem,GAParameters,P,D)
amount = 14;
P1 = P;
if (rand < GAParameters.pc) % 随机决定是进行两交换还是三交换
% 两交换法产生新的解
for k = 1:GAParameters.popsize
ind1 = 0; ind2 = 0;
while (ind1 == ind2)
ind1 = ceil(rand.*amount);
ind2 = ceil(rand.*amount);
end
tmp1 = P1(k).var(ind1);
P1(k).var(ind1) = P1(k).var(ind2);
P1(k).var(ind2) = tmp1; % 随机交换2个变量的位置
end
end
for k = 1:GAParameters.popsize
if problem.fun(P1(k).var,D) < problem.fun(P(k).var,D)
P(k).var = P1(k).var;
P(k).obj = problem.fun(P1(k).var,D);
end
end
value_new = P;
end
变异函数
由于直接将访问城市顺序作为序列，二进制中的变异没有意义，因此采用三变换来代替变异的作用。
%% 变异操作
function value_new = polynomal_mutate(P,problem,GAParameters,D)
amount = 14;
P1 = P;
if (rand < GAParameters.pm)
for k = 1:GAParameters.popsize
ind1 = 0; ind2 = 0; ind3 = 0;
while (ind1 == ind2) || (ind1 == ind3) || (ind2 == ind3) || (abs(ind1-ind2) == 1)
ind1 = ceil(rand.*amount);
ind2 = ceil(rand.*amount);
ind3 = ceil(rand.*amount);
end
tmp1 = ind1;tmp2 = ind2;tmp3 = ind3;
% 确保ind1 < ind2 < ind3
if (ind1 < ind2) && (ind2 < ind3)
elseif (ind1 < ind3) && (ind3 < ind2)
ind2 = tmp3;ind3 = tmp2;
elseif (ind2 < ind1) && (ind1 < ind3)
ind1 = tmp2;ind2 = tmp1;
elseif (ind2 < ind3) && (ind3 < ind1)
ind1 = tmp2;ind2 = tmp3; ind3 = tmp1;
elseif (ind3 < ind1) && (ind1 < ind2)
ind1 = tmp3;ind2 = tmp1; ind3 = tmp2;
elseif (ind3 < ind2) && (ind2 < ind1)
ind1 = tmp3;ind2 = tmp2; ind3 = tmp1;
end
tmplist1 = P(k).var((ind1+1):(ind2-1));
P1(k).var((ind1+1):(ind1+ind3-ind2+1)) = P1(k).var((ind2):(ind3));
P1(k).var((ind1+ind3-ind2+2):ind3) = tmplist1;
end
end
for k = 1:GAParameters.popsize
if problem.fun(P1(k).var,D) < problem.fun(P(k).var,D)
P(k).var = P1(k).var;
P(k).obj = problem.fun(P1(k).var,D);
end
end
value_new = P;
end锦标赛选择函数
函数的适应度就是距离的总值。采用竞标赛规则，两两比较大小，选出距离更小的那一个，模拟遗传中选择的过程。
function newpop = tournament_select(P,GAParameters) % 锦标赛法
newpop = P;
for k = 1:GAParameters.popsize
candidate = randperm(GAParameters.popsize,2); %随机产生两个序号
candidate_win = min(candidate); %序号小的为胜者 因为之前已经排序过了
newpop(k).var = P(candidate_win).var; %结构体数组定义直接加维度
end
end排序函数
对函数适应度进行排序，由于本题没有罚函数的影响，该函数可以直接并入竞标赛选择函数，但是当存在罚函数时，需要先进行排序，然后进行竞标赛选择。
function pop=sort_pop(pop)
%第二步：然后是适应度值排序
[~,I]=sort([pop.obj]);
pop=pop(I);
%第三步：CV值排序
[~,I]=sort([pop.CV]);
pop=pop(I);
end
总结
以上就是三种启发式算法对TSP问题的求解，最终答案徘徊在26左右。当城市数量增加时，贪婪算法便很难求出最优解了，最好还是采用遗传算法和模拟退火。考虑时间复杂度和空间复杂度，当城市数量增加到一定量级后，我认为遗传算法是最佳的寻优算法。当然，模拟退火也可以结合粒子群，本质上可以与遗传算法类似。变化很多，但内核不变，更好的寻优算法，在于找到一个更高效的梯度寻优模式。