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微分方程的平衡点设xt

平衡点P2稳定性的相轨线 0 ?1<1, ?2>1, ?1?2<1 P2稳定 ?1?2<1 ~ ?2>1 前提下P2存在的必要条件 结果解释 ?2>1 ~ 甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗的 ?2 倍 ?1<1 ~ ?2>1, ?1?2<1 的需要，且?1必须足够小，才能在?2>1条件下使?1?2<1 成立 P2稳定条件：?1<1, ?2>1, ?1?2<1 甲可以独自生存 乙不能独立生存 6.5 种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型) 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？ 食饵(甲)数量 x(t), 捕食者(乙)数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r 乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比 乙独立生存的死亡率 d 甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比 方程(1),(2) 无解析解 食饵-捕食者模型(Volterra) a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 Volterra模型的平衡点及其稳定性 平衡点 稳定性分析 P点稳定性不能用近似线性方程分析 p =0, q > 0 P: 临界状态 q < 0 P′ 不稳定 t x(t) y(t) 0 20.0000 4.0000 0.1000 21.2406 3.9651 0.2000 22.5649 3.9405 0.3000 23.9763 3.9269 … … … 5.1000 9.6162 16.7235 5.2000 9.0173 16.2064 … … … 9.5000 18.4750 4.0447 9.6000 19.6136 3.9968 9.7000 20.8311 3.9587 用数学软件MATLAB求微分方程数值解 x~y 平面上的相轨线 计算结果(数值，图形) x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线 观察，猜测 x(t), y(t)的周期约为9.6 xmax? 65.5, xmin ? 6, ymax ? 20.5, ymin ? 3.9 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。 食饵-捕食者模型(Volterra) 消去dt 用相轨线分析 点稳定性 c 由初始条件确定 取指数 x0 fm f(x) x 0 g(y) gm y0 y 0 在相平面上讨论相轨线的图形 用相轨线分析 点稳定性 相轨线 时无相轨线 以下设 y2 y1 x Q3 Q4 q y1 y2 x1 x2 p y y0 x x0 P 0 x1 x2 Q1 Q2 Q1(x1,y0),Q2(x2,y0) Q3(x,y1), Q4(x,y2) 相轨线退化为P点 存在x1