1-第1章 第1节-五次多项式-会用公式就行

第一章：数学

第一节、五次多项式（这个推导可以看一下我手写的笔记！！！）

1. 舒适性指标：跃度：Jerk=加速度关于时间的导数（Jerk绝对值越小=a变化越平缓=越舒适）

假设质点的轨迹s=f(t)_这里要想象一下f(t)=t^2的轨迹长啥样，横坐标是t，纵坐标是f=y，这里也很奇怪f到低怎么定义，不然就只有y没有x了_, _{轨迹s是关于时间t，因为Jerk是为了衡量轨迹舒适性的，不能直接加速度求导，要过渡到轨迹上} 则Jerk=(d³f)/(dt³)，若在[0,T]区间内Jerk的绝对值都比较小，则在[0,T]时间内规划的轨迹是比较舒适性的 _所以要积分！_{所以想确定一条轨迹f(s)需要使得Jerk小，由于绝对值不易处理，所以平方}即：min$${\int }_0^t(\frac{d^{3}f(t)}{d{t}^3}{)}^{2}dt$$ ，这是一个关于 f(t)的泛函，积分的值取决于f(t)在[0,T]上的整体形状。想求使得$${\int }_0^t(\frac{d^{3}f(t)}{d{t}^3}{)}^{2}dt$$ 取得极小值的f(t)：显然当f(t)为二次或二次以下函数时，$\frac{d^{3}f(t)}{d{t}^3}=0$ ,所以积分最小=0。所以：让Jerk在[0,T]上最小，f(t)应该取二次或以下的函数.

但真实情况要负责点，因为s=f(t)带有约束：（即：初始点和终点位置、速度、加速度一定，这就对s=f(t)的图像走势有一定的限制

$s(0)=s_0$ $s(T)=s_n$

$\dot{s}(0)=v_0$ $\dot{s}(T)=v_n$

$\ddot{s}(0)=a_0$ $\ddot{s}(T)=a_n$

以上共6个边界条件 而二次函数y=ax2+bx+c 只有三个变量无法满足6个边界条件，所以啊，舒适性指标Jerk是不能直接等于0的，在真实情况下，要求带边界约束的泛函，即：

find f(t) st $${\int }_0^t(\frac{d^{3}f(t)}{d{t}^3}{)}^{2}dt$$ 最小

subject to：

$s(0)=s_0$ $s(T)=s_n$

$\dot{s}(0)=v_0$ $\dot{s}(T)=v_n$

$\ddot{s}(0)=a_0$ $\ddot{s}(T)=a_n$

那么满足带约束的泛函$${\int }_0^t(\frac{d^{3}f(t)}{d{t}^3}{)}^{2}dt$$ 的极值问题的解是：5次多项式（这个很好理解：5次多项式6个变量 刚好对应6个约束求解

解：显然f(t)只可能是在[0,T]上有界连续，因为无界、断函数会使Jerk无穷大，不妨设$s=f(t)=f(0)+\dot{f}(0)t+\frac{\ddot{f}(0)}{2}{t}^2+...$

1）带入前3个边界条件可得：

$f(0)=s_0$

$\dot{f}(0)=v_0$

$\ddot{f}(0)=a_0$

所以$f(t)=s_0+v_{0}t+\frac{1}{2}{a}_0{t}^2+\frac{\ddot{f}}{6}{t}^3+...$ (这都不需要推导 印象中就是这样啊)

观察：因为KaTeX parse error: Undefined control sequence: \dddot at position 6: Jerk=\̲d̲d̲d̲o̲t̲ ̲f(t) 所以 $s_0{v}_0{a}_0$ 的值不影响 Jerk 还是要求f(t)使得$ Jerk=\dddot f(t)$ 最小

现在前三个条件用完了，可以确定$f(t)=s_0+v_{0}t+\frac{1}{2}{a}_0{t}^2+\frac{\ddot{f}}{6}{t}^3+...$ 的样式，继续考虑另外三个约束条件

2）对后3个边界条件

只有转换为积分形式 才能用到s(T)这种t=T的值




所以：一般离散的点怎么连接：一般都是五次多项式（这个多项式是轨迹关于时间t的）

注意：推导的过程是用广义欧拉-拉格朗日写的，所以求出的是极小值，即Jerk+后三个边界调解=的最小值，不是直接=0，所以这里是保证了目标Jerk极小，也保证边界极小，后3个边界也没有直接满足.

而且这里退出的f(t)还应该再考虑下s0 v0 a0，则a5=s0，a4=v0，a3=a_0/2