题402.数位dp-acwing-1082. 数字游戏&1083. Windy数&1085. 不要62

文章目录

  • 题402.数位dp-acwing-1082. 数字游戏
  • 一、题目
  • 二、题解
  • 三、类似题目
  • 四、关于数位dp


题402.数位dp-acwing-1082. 数字游戏


一、题目

题402.数位dp-acwing-1082. 数字游戏&1083. Windy数&1085. 不要62_第1张图片

二、题解

欲求区间[X,Y]中满足性质的数的个数,我们可以想着去求小于m的数中满足性质的个数f(m),然后利用前缀和思想,f(X,Y)=f(Y)-f(X-1)得到最后结果。
现在考虑如何求f(m):
对于上界m,设按B进制表示为an-1an-2an-3an-4…a1a0,则我们可以据此来给每一位填数,则以填最高位为例,新数该位要么填0-an-1-1(由于是要满足不降性质,因此最小只能填到上一位的数last),要么填an-1(当然也需满足不降性质),对于前者之后的位不论怎么填都可以满足比n来得小,则将满足性质的数的个数计入总的方案数,对于后者则last修改为当前位,然后须按照上述方式接着讨论,则整个过程可以按树讨论如下:

题402.数位dp-acwing-1082. 数字游戏&1083. Windy数&1085. 不要62_第2张图片

则我们还需开局预处理出给左分支使用的i位数时,最高位填j的结果f[i][j],对此可以使用dp来实现,以下直接对递推公式分析,采用y式dp分析法:

题402.数位dp-acwing-1082. 数字游戏&1083. Windy数&1085. 不要62_第3张图片
则代码如下:

#include 

using namespace std;

const int maxn=15;

int f[maxn][10];//f[i][j]表示i位数下最高位填j的方案数

void init()
{
    //初始化dp数组
    for(int i=0;i<=9;i++) f[1][i]=1;//1位数下最高位填i的方案数必定为1
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=0;j<=9;j++)
        {
            for(int k=j;k<=9;k++)
            {
                f[i][j]+=f[i-1][k];//sum(1*f[i-1][k])
            }
        }
    }
}

int dp(int n)//求小于等于n的数中满足性质的数的个数
{
    if(!n) return 1;//上界为0时满足性质的数就是0,所以方案数为1

    //分离位数
    vector<int> nums;
    while(n) nums.push_back(n%10),n/=10;

    int res=0;
    int last=0;//last存储上一位填的数
    for(int i=nums.size()-1;i>=0;i--)//从最高位向低位枚举
    {
        int x=nums[i];
        for(int j=last;j<x;j++) res+=f[i+1][j];//左分支,res加上i+1位数下最高位填j([max(0,last),x-1])的方案数
        if(x<last) break;//右分支,填x,若x比last来的小则非法不填,直接break
        last=x;//
        if(!i) res++;//填到最后一位,方案数++
    }

    return res;
}

int main()
{
    init();
    int l,r;
    while(cin>>l>>r)
    {
        cout<<dp(r)-dp(l-1)<<endl;
    }
}

三、类似题目

1.acwing-1083. Windy数
(1)题目
题402.数位dp-acwing-1082. 数字游戏&1083. Windy数&1085. 不要62_第4张图片
(2)代码

#include 

#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for(int i=n-1;i>=0;i--)
#define pb push_back

using namespace std;

const int maxn=11;

int f[maxn][10];

void init()
{
    rep(i,0,10) f[1][i]=1;
    rep(i,2,maxn)
    {
        rep(j,0,10)
        {
            rep(k,0,10)
            {
                if(abs(j-k)>=2) f[i][j]+=f[i-1][k];//注意是相差至少为2,不是当前位填的数一定要比上一位大2,所以是条件abs>=2
            }
        }
    }
}

int dp(int n)
{
    if(!n) return 0;
    vector<int> nums;
    while(n) nums.pb(n%10),n/=10;
    int res=0;
    int last=-2;
    per(i,0,nums.size())
    {
        int x=nums[i];
        rep(j,0,x)
        {
            if(!j&&i==nums.size()-1) continue;//刨去前导零的情况,这样最高位必为至少从1打头的数了
            if(abs(j-last)>=2) res+=f[i+1][j];
        }
        if(abs(x-last)<2) break;
        last=x;
        if(!i) res++;
    }
    rep(i,1,nums.size())//由于此前计入方案数时刨去前导零情况,所以这样要再做个特殊处理把因为前导0而成的(
    {
        rep(j,1,10) res+=f[i][j];
    }
    return res;
}

int main()
{
    init();
    int l,r;
    cin>>l>>r;
    cout<<dp(r)-dp(l-1);
}

2.acwing-1085. 不要62
(1)题目
题402.数位dp-acwing-1082. 数字游戏&1083. Windy数&1085. 不要62_第5张图片

(2)代码

#include 

using namespace std;

const int maxn=11;

int f[maxn][10];

void init()
{
    for(int i=0;i<=9;i++)
    {
        if(i!=4) f[1][i]=1;
    }
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=0;j<=9;j++)
        {
            if(j==4) continue;
            for(int k=0;k<=9;k++)
            {
                if(k==4) continue;
                if(k==2&&j==6) continue;
                f[i][j]+=f[i-1][k];
            }
        }
    }
}

int dp(int n)
{
    if(!n) return 1;
    vector<int> nums;
    while(n) nums.push_back(n%10),n/=10;
    int res=0;
    int last=-1;
    for(int i=nums.size()-1;i>=0;i--)
    {
        int x=nums[i];
        for(int j=0;j<x;j++)
        {
            if(j==4) continue;
            if(j==2&&last==6) continue;
            res+=f[i+1][j];
        }
        if(x==4||x==2&&last==6) break;
        last=x;
        if(!i) res++;
    }
    return res;
}

int main()
{
    init();
    int l,r;
    while(cin>>l>>r,l&&r)
    {
        cout<<dp(r)-dp(l-1)<<endl;
    }
}


四、关于数位dp

技巧1:[X,Y] => f(Y)-f(X-1)
技巧2:树


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