八上探索——勾股定理

三角形就是三条线段首尾顺次相连围成的封闭图形，而对于任意一个三角形来说，我们可以知道三角形的内角和等于180度，两边之和大于第三条边，三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和…

而在直角三角形中，我们可以知道直角三角形的两个锐角互余…这些都是三角形的一些性质，那么今天我们就来探索一下勾股定理。

在上面这个直角三角形当中，我们可以看得出来AB边的长度是4， BC边的长度为3。那么如果我们想测量节目的长度应该怎么办？

我们可以以点C为圆心，以AC的长度为半径画弧，也就可以得到新的点， 也就知道斜边的长度为5，那么我们先来观察一下3，4，5之间有什么关系呢？除了他们是连续自然数以外，我们还可以发现，3²+4²=5²， 用文字语言来描述，就是两条直角边的平方和等于斜边的平方，但这仍然只是一个特例，并不是一个普遍的规律，那么我们如何才能证明我们的这个猜想呢？

那么我们现在就来证明一下

在上面的这个大正方形当中，我们可以知道边长就是A + B，而中间还有一个小的正方形，边长为C。

那么我们可以求一下大的正方形的面积，可以表示为（a＋b）²，化简一下就是a² +2ab + b ²那么换一种方法我们也可以用四个三角形和一个小正方形的面积拼起来，也就是1/2ab ×4+ c²， 也就等于2ab+c²。因为这两种方法算的都是整个大正方形的面积，所以这也就是一个等式，根据等式的基本性质我们就可以得出a²+b²=c²。也就是说这个是可以证明出来的。

这也称之为勾股定理，那么现在我们就可以得到一个结论，就是直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

那么我们将这个结论逆过来是否可以成立呢？

如果将这个逆过来的话，也就是如果三角形的三个边a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是一个直角三角形。

在这个三角形当中，我们知道a²+b²=c²，那么接下来就要求证角1等于90度，也就是这是一个直角三角形，首先我们可以先做一个直角三角形，让这个三角形的两个直角边分别等于已知三角形的两个直角边a，b。而另一条斜边假设它的长度为C1，那么根据已知和勾股定理，我们可以知道a²+ b²=c1²，而题目中又说a²+b²=c²，所以c1=c，那么我们就可以根据边边边，来证明这两个三角形是全等的，也就可以知道角1等于90度。

这就是勾股定理的逆定理，已知a²+b²=c²，那么这就是一个直角三角形。