高数 07.01 多元函数的基本概念

$第七章多元函数微分学与二重积分$

1.多元函数微分学是一元函数微分学的推广
注意：善于类比，区别异同
2.二重积分的性质与计算

$\text{§第七章第一节 多元函数的基本概念}$

一、了解区域的概念
二、了解多元函数的概念
三、了解多元函数的极限和连续性的概念

$一、区域$

$1.邻域$

$点集U(P_0,\delta )=\{P||P{P}_0|<\delta \},称为点P_0的\delta 邻域.$
$$\begin{gathered} 例如,在平面上, \\ U(P_0,\delta )=\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta \}(圆邻域) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 在空间中, \\ U(P_0,\delta )=\{(x,y,z)|\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}<\delta \} \\ (球邻域) \end{gathered}$$
$说明：若不需要强调邻域半径\delta ,也可以写成U(P_0).$
$点P_0的去心邻域记为\mathring{U}(P_0)=\{P|0<|P{P}_0|<\delta \}$
$在讨论实际问题中也常使用方邻域,方邻域与圆邻域可以相互包含.$
$$\begin{gathered} 平面上的方邻域为 \\ U(P_0,\delta )=\{(x,y)||x-x_0|<\delta ,|y-y_0|<\delta \} \end{gathered}$$

$2.区域$

(1) 内点、外点、边界点
$设有点集E及一点P:$
$若存在点P的某个邻域U(P)\subset E,则称P为E的内点;$
$若存在点P的某个邻域U(P)\cap E=\varnothing ,则称P为E的外点;$
$$\begin{gathered} 若点P的任一邻域U(P)内既含E的内点也含E的外点, \\ 则称P为E的边界点. \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 显然,E的内点必属于E;E的外点必不属于E; \\ E的边界点可能属于E,也可能不属于E. \end{gathered}$$
(2)聚点
$$\begin{gathered} 若对任意给定的\delta ,点P的去心邻域\mathring{U}(P,\delta ) \\ 内总有E中的点,则称P是E的聚点. \end{gathered}$$
$聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)$
$所有聚点所构成的点集称为E的导集$
(3)开区域及闭区域
$若点集E的点都是内点,则称E为开集;$
$E的边界点的全体称为E的边界,记作\partial E(\partial 读作rounded);$
$若点集E\supset \partial E,则称E为闭集;$
$$\begin{gathered} 若集合D中任意两点都可以用一完全属于D的折线相连, \\ 则称D是连通的; \end{gathered}$$
$连通的开集成为开区域,简称区域;$
$开区域连同它的边界一起称为闭区域.$
$例如,在平面上$
$\begin{array}{l}\{(x,y)|x+y>0\}\\ \{(x,y)|1<x^2+y^2<4\}\end{array}\}开区域$

$\begin{array}{l}\{(x,y)|x+y\ge 0\}\\ \{(x,y)|1\le x^2+y^2\le 4\}\end{array}\}闭区域$

$整个平面式最大的开区域，也是最大的闭区域;$
$点集\{(x,y)||x|>1\}是开集,但非区域.$
$$\begin{gathered} 对于区域D,若存在正数K,使一切点P\in D与某定点A的 \\ 距离|AP|\le K,则称D为有界域,否则称为无界域. \end{gathered}$$

$3.n维空间$

$$\begin{gathered} n元有序数组(x_1,x_2,\cdots ,x_n)的全体称为n维空间, \\ 记作R^n,即 \\ {R}^n=R\times R\times \cdots R \\ =\{(x_1,x_2,\cdots ,x_n)|x_k\in R,k=1,2,\cdots ,n\} \\ n维空间中的每一个元素(x_1,x_2,\cdots ,x_n)称为空间 \\ 中的一个点，数x_k称为改点的第k个坐标. \end{gathered}$$
$当所有坐标x_k=0时,称该元素为R^n中的零元,记作0$

$二、多元函数的概念$

$$\begin{gathered} 引例： \\ 圆柱体的体积 \\ V=\pi r^{2}h,\{(r,h)|r>0,h>0\} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 三角形面积的海伦公式(p=\frac{a+b+c}{2} \\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ \{(a,b,c)|a>0,b>0,c>0\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 定义1.设非空点集D\supset R^n,映射f:D\mapsto R \\ 称为定义在D上的n元函数,记作 \\ u=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)或u=f(P),P\in D \\ 点集D称为函数的定义域;数集\{u|u=f(P),P\in D\} \\ 称为函数的值域 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 特别地,当n=2时,有二元函数 \\ z=f(x,y),(x,y)\in D\subset R^2 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 当n=3时,有三元函数 \\ u=f(x,y,z),(x,y,z)\in D\subset R^3 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 例如,二元函数z=\sqrt{1-x^2-y^2} \\ 定义域为圆域\{(x,y)|x^2+y^2\le 1\} \\ 图形为中心在原点的上半球面. \end{gathered}$$
$又如,z=\sin (xy),(x,y)\in R^2$
$说明：二元函数z=f(x,y),(x,y)\in D的图形一般为空间曲面\Sigma$
$$\begin{gathered} 三元函数u=\arcsin (x^2+y^2+z^2)的定义域为单位闭球 \\ \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le 1\} \\ 图形为R^4空间中的超曲面. \end{gathered}$$

$三、二元函数的极限$

$$\begin{gathered} 定义2.设二元函数z=f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)的某一去心邻域 \\ 内有定义,P(x,y)为该邻域内任意一点,当P(x,y)以任意方式 \\ 趋近于P_0(x_0,y_0)时,函数f(x,y)的值都趋于一个确定的常数A, \\ 则称A为函数f(x,y)当点P(x,y)趋近于P_0(x_0,y_0)时的极限. \\ 记作{\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A \end{gathered}$$

$四、二元函数的连续性$

$$\begin{gathered} 定义3.设二元函数f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)的某邻域内 \\ 有定义,如果{\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0), \\ 则称二元函数z=f(x,y)在点P_0处连续, \\ 如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上连续 \end{gathered}$$

$结论：一切多元初等函数在定义域内连续.$
$闭域上二元连续函数有与一元函数类似的如下性质：$
$定理:若f(P)在有界闭域D上连续,则$
$(1)\exists K>0,使|f(P)|\le K,P\in D;(有界性定理)$
$(2)f(P)在D上可取得最大值M及最小值m;(最值定理)$
$(3)对任意\mu \in [m,M],\exists Q\in D,使f(Q)=\mu ;(介值定理)$

$内容小结$
$$\begin{gathered} 1.区域 \\ 邻域:U(P_0,\delta ),\mathring{U}(P_0,\delta ) \\ 区域：连通的开集 \\ {R}^n空间 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 2.多元函数概念 \\ n元函数u=f(P)=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n) \\ P\in D\subset R^n \end{gathered}$$
$常用\{\begin{array}{l}二元函数\\ 三元函数\end{array}$

$3.多元函数的极限$
${\lim }_{P\to P_0}f(P)=A$

$讨论函数f(x,y)=\{\begin{array}{l}\frac{xy}{x^2+y^2},x^2+y^2≠0\\ 0,x^2+y^2=0\end{array}$
$在P_0(0,0)处的极限是否存在?$
$沿x轴(y=0){\lim }_{x\to 0,y=0}f(x,y)=0$
$沿y轴(x=0){\lim }_{x=0,y\to 0}f(x,y)=0$

$$\begin{gathered} 沿y=kx,(k≠0) \\ {\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y) \\ ={\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xkx}{x^2+k^2{x}^2}=\frac{k}{1+k^2} \\ 对于不同的k值，极限值不同，f(x,y)在P(0,0)点极限不存在 \end{gathered}$$

$4.多元函数的连续性$
$1)函数f(P)在P_0连续⟺{\lim }_{P\to P_0}f(P)=f(P_0)$
$$\begin{gathered} 2)闭域上的多元连续函数的性质: \\ 有界定里;最值定理;介值定理 \end{gathered}$$
$3)一切多元初等函数在定义域内连续$