高数 07.11 多元函数微分学习题03A二重积分

二重积分
一、考试内容:
1.二重积分的概念与性质
2.二重积分的计算法
二考试要求:
1.了解二重积分的概念和性质
2.掌握在直角坐标系下计算二重积分的方法，会交换积分次序
3.会利用极坐标计算二重积分
三、基本知识
1.二重积分的概念和性质
2.直角坐标系下计算二重积分的方法，会交换积分次序
3.极坐标计算二重积分
4.二重积分的对称性

计算二重积分的口诀:
先画积分域
域内画条线
先交为下限
后交为上限
若是不易积
换序是关键
两方同出现
极坐标简便

四、例题分析
(一)单项选择题
例1.设函数z=f(x,y),z=g(x,y)均在有界闭区域D上存在二重积分,则能表示区域D上由曲面：z=f(x,y),z=g(x,y)为上下顶面的立体体积的二重积分是(  C  )
A.∬D(f(x,y)−g(x,y))dσB.∬D(|f(x,y)|−|g(x,y)|)dσC.∬D|f(x,y)−g(x,y)|dσD.|∬D(f(x,y)−g(x,y))dσ|
解:可能存在D上的某些区域f(x,y)>g(x,y),另一些区域f(x,y)<g(x,y),顾选C

例2.∬0≤x≤1,−1≤y≤1dxdy=(  C  )
A.1B.−1C.2D−2
∬0≤x≤1,−1≤y≤1dxdy=∫10dx∫1−1dy=∫102dx=2

例3.二次积分∫10dx∫1−x0f(x,y)dy等于(  D  )
A.∫10dy∫10f(x,y)dxB.∫10dy∫1−x0f(x,y)dxC.∫1−x0dy∫10f(x,y)dxD.∫10dy∫1−y0f(x,y)dx
解:0≤x≤1,0≤y≤1−x;⟹0≤y≤1,0≤x≤1−y

例4.设I1=∬Dxy2dxdy,I2=∬Dx2y2dxdy,I3=∬D(x2+y2)dxdy,其中区域D由x2+y2=1所围成的平面图形,则下列表达式正确的是(  A  )
A.I1≤I2≤I3B.I3≤I1≤I2C.I2≤I3≤I1D.I3≤I2≤I1
解:∵x2+y2=1区域D是对称区域xy2是奇函数,∴I1=0I2=∫2π0dθ∫10r4sin2θcos2θrdr=16∫2π0sin2θcos2θdθ≤16∫2π0dθ=π3I3=∫2π0dθ∫10r2rdr=14∫2π0dθ=π2I1=0≤I2≤I3也可:因为x2+y2≤1,所以x2y2≤x2≤x2+y2故I2≤I3∴I1≤I2≤I3

(二)填空题
例5.交换二次积分次序I=∫10dx∫x√xf(x,y)dy=  ∫10dy∫yy2f(x,y)dx  −−−−−−−−−−−−−−−−
解: 0≤x≤1,x≤y≤x√曲线方程：y=x,x=y20≤y≤1,y2≤x≤yI=∫10dy∫yy2f(x,y)dx

例6.设积分区域是−1≤x≤1,−2≤y≤2围成的区域,则∬D(x3+2y)dxdy=  0  −−−
解:∬D(x3+2y)dxdy=∫1−1dx∫2−2(x3+2y)dy=∫1−1[x3y+y2]2−2dx=∫1−14x3dx=[x4]1−1=0方法2:I=∬D(x3+2y)dxdy=∬Dx3dxdy+∬D2ydxdyD是对称区域,x3,2y都是奇函数,所以I=0

例7.设区域D是由0≤x≤a,0≤y≤ax(a>0)围成的平面区域,且∬Ddxdy=8,则a=  22√3  −−−−−
解:SD=12aa2=8a=22√3

(三)解答题
例8.计算∬Dxy2dxdy,其中D是直线y=x,x=1和x轴围成的平面区域.
解:0≤x≤1,0≤y≤x∬Dxy2dxdy=∫10dx∫x0xy2dy=∫10[13xy3]x0dx=∫1013x4dx=[115x5]10=115

例9.计算∬Dx2y2dxdy,其中D是由直线x=2,y=x,及双曲线xy=1围成的平面区域.
解:1≤x≤2,1x≤y≤x∬Dx2y2dxdy=∫21dx∫x1xx2y2dy=∫21[−x2y]x1xdx=∫21(x3−x)dx=[14x4−12x2]21=94

例10.计算∬Dcos(x+y)dxdy,其中D是直线x=0,y=x,y=π围成的平面区域.
解:0≤x≤π,x≤y≤π∬Dcos(x+y)dxdy=∫π0dx∫πxcos(x+y)dy=∫π0[sin(x+y)]πxdx=∫π0[sin(x+π)−sin2x]dx=∫π0[−sin(x)−sin2x]dx=[cos(x)+12cos2x]π0=−2

例11.计算∬Dy2exydxdy,其中D是曲线y=x,y轴及y=1围成的平面区域.
解:0≤y≤1,0≤x≤y∬Dy2exydxdy=∫10dy∫y0y2exydx=∫10[yexy]y0dy=∫10[yey2−y]dy=[12ey2−12y2]10=e2−1

例12.计算∬Dydxdy,其中D是由直线x=0,x=1,y=x及曲线y=ex所围成的平面区域
解:0≤x≤1,x≤y≤ex∬Dydxdy=∫10dx∫exxydy=∫10[12y2]exxdx=∫10(12e2x−12x2)dx=[14e2x−16x3]10=e24−512

例13.设D是由y=x,y=x+12,y=12,y=32所围成的区域,计算∬D(x2+y2)dσ
解:12≤y≤32,y−12≤x≤y,∬D(x2+y2)dσ=∫3212dy∫yy−12(x2+y2)dx=∫3212[13x3+y2x]yy−12dy=∫3212[13y3+y2y−13(y−12)3−y2(y−12)]dy=∫3212[y2−14y+124]dy=[13y3−18y2+124y]3212=121144

例14.计算二重积分∬D(x2+y2)dxdy,其中区域D由抛物线y=x2及直线x=1,y=0围成
解:0≤x≤1,0≤y≤x2,∬D(x2+y2)dxdy=∫10dx∫x20(x2+y2)dy=∫10[x2y+13y3]x20dx=∫10(x4+13x6)dx=[15x5+121x7]10=26105

例15.将二重积分∬Df(x,y)dxdy化为两种次序二次积分,其中D由直线x+y=1,x−y=1,x=0所围成
解:X−型区域：0≤x≤1,x−1≤y≤1−x∬Df(x,y)dxdy=∫10dx∫1−xx−1f(x,y)dyY−型区域:D1:−1≤y≤0,0≤x≤y+1;D2:0≤y≤1,0≤x≤1−y;∬Df(x,y)dxdy=∫0−1dy∫y+10f(x,y)dx+∫10dy∫1−y0f(x,y)dx

例16.计算二重积分I=∬D(2−y−x2)dxdy,其中D是由抛物线2y2=x和直线x+2y=4所围成的平面区域.
解:解x=2y2,x=4−2y得:交点(8,−2),(2,1)Y−型区域:−2≤y≤1,2y2≤x≤4−2y;I=∬D(2−y−x2)dxdy=∫1−2dy∫4−2y2y2(2−y−x2)dx=∫1−2[2x−yx−x24]4−2y2y2dy=∫1−2(4−4y−3y2+2y3+y4)dy=[4y−2y2−y3+12y4+15y5]1−2=8110

例17.求∬D(1−x2−y2)dxdy,其中D是由y=x,y=0,x2+y2=1在第一象限内所围成的区域.
解:使用极坐标系,D:0≤θ≤π4,0≤r≤1;∬D(1−x2−y2)dxdy=∬D[1−(rcosθ)2−(rsinθ)2]rdrdθ=∫π40dθ∫10(r−r3)dr=∫π40[12r2−14r4]10dθ=∫π4014dθ=[14θ]π40=π16

例18.计算二重积分∬Dx2+y2−−−−−−√dxdy,其中D是圆x2+y2=2y围成的区域.
解:极坐标区域D:0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ;∬Dx2+y2−−−−−−√dxdy=∫π0dθ∫2sinθ0(rcosθ)2+rsinθ)2−−−−−−−−−−−−−−−√rdr=∫π0dθ∫2sinθ0r2dr=∫π0[13r3]2sinθ0dθ=∫π08sin3θ3dθ=83∫π0(cos2θ−1)dcosθ=83[13cos3θ−cosθ]π0=329

例19.计算二重积分∬Dxdxdy,其中D是由直线y=x和圆x2+(y−1)2=1所围成,且在直线y=x下方的平面区域.
解:极坐标区域D:0≤θ≤π4,0≤r≤2sinθ;∬Dxdxdy=∫π40dθ∫2sinθ0rcosθrdr=∫π40[13cosθr3]2sinθ0dθ=∫π4083cosθsin3θdθ=∫π4083sin3θdsinθ=[23sin4θ]π40=16

例20.已知D:x2+y2≤a2(a>0),求a的值，使∬De−(x2+y2)dxdy=π2
解:极坐标区域D:0≤θ≤2π,0≤r≤a;∬De−(x2+y2)dxdy=∫2π0dθ∫a0e−[(rcosθ)2+(rsinθ)2]rdr=∫2π0dθ∫a0e−r2rdr=∫2π0[−12e−r2]a0dθ=∫2π0[12−12e−a2]dθ=[(12−12e−a2)θ]2π0=(12−12e−a2)(2π−0)=(1−e−a2)π=π2⟹e−a2=12−a2=−ln2a=ln2−−−√

例21.求∬π2≤x2+y2≤4π2sinx2+y2−−−−−−√dxdy
解:极坐标区域D:0≤θ≤2π,π≤r≤2π;∬π2≤x2+y2≤4π2sinx2+y2−−−−−−√dxdy=∫2π0dθ∫2ππsin(rcosθ)2+(rsinθ)2)−