论文笔记：KickStarter: Fast and Accurate Computations on Streaming Graphs via Trimmed Approximations

创新点： 在流式图数据中，当出现边删除的情况时，通过修剪受影响的顶点的值来实现安全有效的顶点更新，以在用户查询时返回正确的结果。

一、引言

1. 过去的算法：

   • 流式图，图结构在不断地更新，因而系统中有图形批量更新程序；
   • 系统对数据的执行是迭代处理的。
   • 将图的批量更新程序与迭代处理进行交互，使迭代处理逻辑维护了一个中间结果，这个结果是在图的最新版本上的计算结果的近似。

   • 当查询到来时，直接在中间结果上进行计算，而不是在原始图上。受边更新影响的点亦如此。

     
     
     流式图数据处理过程

   当图的更新请求不断到来时，这些更新被分批次地传入迭代系统，且直到所有批次的迭代结束，才会将更新应用到图结构中去。因此，当查询在中间到来时，主循环逻辑会分出一个分支循环来处理查询，而此时的查询输入值，是之前更新到的中间结果，而不是图的初始值。

   此种设计背后的理念是：在图中，比起初始的顶点值，更新前的值是对实际结果的更好的近似。因而若是从中间结果直接进行计算，可以更快地实现收敛。
   前提：当图发生突变的时候，中间结果确实比初始值更接近实际结果。否则就会出现错误。

   • 问题：对于呈现单调性计算特性的图算法（如SSSP、BFS、SSWP），删除一条边会改变图结构并打破图的单调性，使中间结果无效。

   比如SSSP算法，若在计算过程中，图中某一条边 A->B 突然被删除，那么此时B的入边应少一条，其最短路径应重新计算。但此种算法会从上一步的中间结果计算，若此结果与被删除的边有关，则可能会导致计算结果出错。

2. KickStarter方法：运行时的技术，通过修剪（Trim），在边删除时能为受影响的顶点计算一个安全而有效的近似值。

   • 关键思想：先识别被所删除的边直接或间接影响的顶点值，再在这些值被送入后续计算之前调整它们（计算一个合适的值）。

   在有单调特性的图算法中，有一个共有的点，即对图中的某一个点，其当下的值，究其根本只依赖于其某一条入边，而与其他入边的权重无关。 因而有着较为简单的依赖关系。

   • 解决办法：通过 在迭代中标记全部可能的受影响点 或者 跟踪顶点的依赖关系 来识别需要调整数值的顶点。

二、背景

• SSWP与SSSP

  以两个算法为例，说明过去系统在面对边删除时存在的两个问题

顶点中心模型的算法实现

（1）问题1：结果错误（以SSWP为例）

图1：以A为源点的最宽路径

（2） 问题2：执行力降低（以SSSP为例）

图2：SSSP的图

（3） 比较：SSWP最终得到了错误结果，SSSP得到了正确结果单执行力非常差耗时很长。其不同点在于，前者在迭代中只进行了值选择，后者在迭代中对顶点值进行了计算。

三、算法核心：修剪近似

1. 可恢复的近似：指用迭代的流算法S对该近似集合进行计算，也可以得到在G上的最终的正确解答。
2. 两种技术：
（1）利用标记机制，标记可能受到影响的所有顶点，并重置顶点值（代价太大）；
（2）跟踪顶点之间的动态依赖关系，得到精确的顶点集。
3. 方法1：标记 + 重置
（1） 流程：首先标记被删除的边e的目标顶点，在后续处理中，若某条边的源点被标记，则其目标顶点添加标记。结束标记后，将被标记顶点的值都恢复到初始化的值。
（2） 缺陷：会标记许多不必要的顶点，如图一，会标记所有点，然而 C 点和 F 点并未真正受 A->D 边的影响，算法中将这两点也重置为0，使其结果错误。
4. 方法2：跟踪动态依赖
（1） 值依赖（Value Dependence）

图3：contributes-to 关系

图4：关系的传递闭包

图5：leads-to 关系

第二个条件是关键，因为它限定了u和v不在一个圈内，则对于v的值计算，不会依赖于v原来的值。

• 依赖树（Dependence Tree）
  图中的每条边都代表了一个leads-to关系

  
  
  图6：依赖树
  
  

  （2）计算新的近似值

  • 先要找到受影响点：找到DT中以被删边的目标顶点为根的子树。
  • 计算这些点的最优近似值：
    • 若被删的边在DT中没有对应边，就忽略；
    • 若有，则为该边的目标顶点计算一个安全的替代值。
    • 检查是否要对当前的顶点在DT中的直接孩子节点进行修剪。

  怎么计算安全的近似替代值？ 由于环的存在，会影响顶点值的设定，因此只为不依赖自己的顶点进行重新计算替代值，否则直接设置为0。如图1和图7中的D顶点。
  算法：用层次信息（level information）来解决，根节点层次为0，向下依次增高。若找到了合适的新路径，则用新路径的值为需要替代值的顶点求值。
  何时停止修剪？ 理论上，为顶点找到新的安全值后，KS还要检查新的值是否破换了图算法的单调性，若是破坏了，那就需要继续修剪其直接孩子节点。否则若是没破坏，则修剪可以停止。
  例子：图6的后3张图。

  （3）并行修剪的算法