细碎知识点1-傅里叶变换（2022.9.5）

1.原因

        在了解手术导航系统时，从图书馆找了本书，看的是《从二维到三维-医学影像分析及器官三维重建》，感觉比较容易入门。想着花3周左右的时间了解一下需要的基础知识。

        看到医学影像预处理与增强技术时，在医学影像的频域变换提到了傅里叶变换。这个内容一直有看到过，但是一直没有仔细了解过。现在对他的概念做一个简单的梳理。

2.傅里叶变换

2.1傅里叶级数

        结论:任何一个周期函数都可以用一定数量的正弦函数拟合，不同的正弦函数会有不同的频率、不同的初相位。也就是我们可以通过正弦函数的特点来推断概周期函数的特性，而正弦函数的特点就体现在频率和初相位上。

        公式：

        图形演示：
        一般我们对事物的观察都停留在时间角度，比如一天之内几点起床、几点吃饭等。但是我们也可以站在频率的角度观察，比如起床的频率是一天一次，吃饭的频率是一天三次。（干饭第一人）。到底选择从何种角度观察，取决于我们需要的信息，以及需要调整的信息。     

  
2.2傅里叶变换

        公式：

        其中f(x)为原函数，F(x)为傅里叶变换后的函数，是欧拉方程，与正余弦函数关系如下。

        该变换的原理是三件函数的正交性。简单来说就是在1，cos(nwt),sin(nwt)三者之间，任意两个不同函数乘积在[-pi, pi]之间的积分为0。而相当于一个筛选器，由于x在负无穷到正无穷之间积分，相当于能取到所有的w，可以将同一w的数据筛选出来。

        关于推导过程，在参考文献的第一篇文章里较为详细，可以看一下。

3.目的

        目前只看了一些概念，还没有实践，具体傅里叶变换能解决的问题，我也不清楚，下面是看材料提到的一些内容。

        傅里叶变换是在频域看问题。生活中某些信息可能隐藏在频率中。在我们区分声音主人的性别时，会用到傅里叶变换。将声音信号进行傅里叶变换，会得到声音强度随频率的变化曲线，我们会发现女人的声音会在高频处幅值更大，而男人的声音会在低频处幅值更大。由此推广将一男子高频处声音幅值调高，那便可以变成女人的声音。再次推广，当已知某人声音的傅里叶变换曲线，那便可以通过调节其他人声音不同频率的幅值，在通过傅里叶逆变换进行模仿该人发声。

        在图像领域，高频信号特点体现为变化剧烈，低频信号体现为变化平缓。当增强高频信号时，会使图像细节更加明显，增强低频信号时，会使轮廓更加突出。

4.实例

        由于目前处在了解阶段还没开始实例的尝试，等到动手阶段会贴在这里的。

参考文献

1.傅里叶系列（一）傅里叶级数的推导 - 知乎 (zhihu.com)

2.傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 - 知乎 (zhihu.com)

3.傅里叶变换 - 知乎 (zhihu.com)