搜索树结点数的估计（回溯法）
在做复杂性分析的时候，采取的都是上界，但是要做实际的估计就不是这样的。比如在搜索的时候着色问题根据图的结构的不同，真正在做调色的时候调色空间大小其实是不太好估计的，搜索空间的树，到底有多少个搜索结点需要搜索，到底有多大，因为中间有剪枝，剪枝又与图有关系，所以这个时候不太好做精确的估计的，这个时候可以采取的办法叫做蒙特卡洛搜索法。
文章目录
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- 一、Monte Carlo方法
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- 1、 从根开始，随机选择一条路经
- 2、假定搜索树的其他 ∣ S i ∣ − 1 | S_i | −1 ∣Si∣−1个分支与以上随机选出的路径一样，计数搜索树的点数.
- 3、 重复步骤1 和2，将结点数进行概率平均
- 二、伪码
- 三、4后搜索树遍历的结点
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- 1、随机选择路径1
- 2、随机选择路径2
- 3、随机选择路径3
- 4、估计结果
- 四、实例
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- 1、一次抽样
- 2、子过程的伪码
- 五、总结
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- 1、目的：估计搜索树真正访问结点数
- 2、步骤： 随机抽样，选择一条路径
一、Monte Carlo方法
随机的选择一些路径，随机的进行赋值，然后找到一条路径（不一定非得到达叶结点中间也可能结束掉），然后随机的找出路径来进行采样，然后看一看它们的概率是多少，根据这个概率来算期望值，这是一种搜索树结点数量的一种方法。
1、 从根开始，随机选择一条路经
直到不能分支为止,
即 从 x 1 , x 2 , … , 依 次 对 x i 赋 值 ， 每 个 x i 的 值 是 从 当 时 的 S i 中 随 机 选 取 ， 直 到 向 量 不 能 扩 张 为 止 . 即从x_1, x_2 , …, 依次 对x_i赋值，每个x_i 的值是从当时的S_i 中随机选取，直到向量不能扩张为止. 即从x1,x2,…,依次对xi赋值，每个xi的值是从当时的Si中随机选取，直到向量不能扩张为止.
2、假定搜索树的其他 ∣ S i ∣ − 1 | S_i | −1 ∣Si∣−1个分支与以上随机选出的路径一样，计数搜索树的点数.
3、 重复步骤1 和2，将结点数进行概率平均
二、伪码
输入：n 为皇后数，t 为抽样次数
输出：sum, 即t 次抽样路长平均值
1． sum←0
2．for i←1 to t do // 取样次数t
3. m←Estimate(n)// m为结点数
4. sum ←sum + m
5. sum ←sum / t
三、4后搜索树遍历的结点
4皇后问题的所有结点如图，结点个数是17
结点数=17
1、随机选择路径1
随机寻找的过程，也就是解有一个向量，向量的构成
比如找到一条路径（虽随机选择的路径），随机赋值来选择的路径选出来，路径长度是<1，4，2>，估计所有的可能性，这条路径在这个树里面：第一个结点有4种选择；第二个结点有2种选择；第三个结点有1种选择。
有8条路径是可以重复的，用结点进行复制，认为所有的结点都是这么长，用随机选择的一条路径是所有路径的拷贝，所有路径都是它的一种复制，用它来估计一下是21。
2、随机选择路径2
如果我们再随机选择一条路径，认为其他的路径都是按照这种方法走下来的，都是这样的一种选择，这个时候就相当于结点数估计出来有17个。
这条路径它中间没有任何的分支，把它复制一下，就有4条，也就是说它在第一个结点发现有4个分支（第一种选择有4种），所以就把它复制4次，把所有的结点数，这个地方就有4x4+1个结点，我们认为随机找一条给它复制。
当然复制的时候，要考虑它的分支的个数，比如说路径2往下面走的结点没有别的任何分支，只有第一个结点处有4种选择，所以说给它复制4次。
3、随机选择路径3
随机赋值选出来的路径，第一个分支有4种选择，第二个分支的时候有两种选择。
所以第一个路径这个点单独抽出来复制4次，然后第二个路径这个点，有两种选择，给它复制2次，认为随机找一条代替所有，复制完成后把结点数算出来，接下来再随机选，当选择次数越选越多的时候，这个时候就可以来抽样。
4、估计结果
假设4 次抽样测试：
case1: 1次，
case2: 1次，
case3: 2次，
平均结点数=(21×1+17×1+13×2)/4=16
搜索空间访问的结点数为17
每次假如选择的一条路径，对这条路径做完整的复制以后，把它的结点数作为搜索空间结点数的一个估计，采样了多次，根据大数定律去估计平均值和期望值是多少。
最后估计出来发现是16，但实际上是17，这个值就可以做成它的一个很好的估计值，这个就是搜索树里面的蒙特卡洛方法。
四、实例
抽样的时候要注意，在复制的时候有一个分支，在搜索树的分支里面，选出和它路径一样的随机树，一样的点。
1、一次抽样
m为本次取样得到的树结点总数
k 为层数
r 2 为 上 层 结 点 数 r_2 为上层结点数 r2为上层结点数
r 1 为 本 层 结 点 数 r_1为本层结点数 r1为本层结点数
r 1 = r 2 ⋅ 分 支 数 r_1= r_2⋅分支数 r1=r2⋅分支数
n 为树的层数
从树根向下计算,随机选择,直到树叶.
r 2 = 2 r_2 =2 r2=2
r 1 = r 2 ⋅ 3 = 6 r_1= r_2⋅3 =6 r1=r2⋅3=6
2、子过程的伪码
算法Estimate(n)
1. m←1; r2←1; k←1// m 为结点总数
2. while k≤ndo
3. if Sk=∅then return m
4. r1←|Sk|*r2 // r1为扩张后结点总数
5. m←m+r1 // r2为扩张前结点总数
6. xk←随机选择Sk的元素
7. r2←r1
8. k←k+1
五、总结
Monte Carlo 方法
1、目的：估计搜索树真正访问结点数
2、步骤： 随机抽样，选择一条路径
用这条路径代替其他路径
逐层累加树的结点数
多次选择，取结点数的平均值