数字信号处理（9）- 模拟信号的谱分析方法

1 用DFT对模拟信号进行频谱分析

引入：

DFT的最初引入就是为了使数字计算机能够帮助分析连续时间信号的频谱

DFT的快速算法(FFT)的出现使得DFT这种分析方法具有实用价值和重要性。

DFT即发生在信号处理系统的数字信号处理部分。

分析：

设：对连续非周期信号进行时域抽样，采样间隔为T（时域）；

对其连续非周期的频谱函数进行频域采样，频域采样间隔为F（频域）；

3为频域采样不失真条件，即频域采样定理

步骤：

我们把以上推演过程用严密的数学公式来表示：

零阶近似

此处 前提条件是时域采样N点，频域同样采样N点。
这样才能把图中左右两式联系起来，使得 。

结论：

原理示意图：

频谱的横坐标可以由很多单位描述。
不同单位的描述可对应出相应的物理含义。

一些重要的概念：

例题：

总结：

程佩青教材对这一过程的理解：

这一过程实际上意味着对连续频谱进行抽样和截断，并对原方程式，近似处理，此时发现符合DFT的公式。

高西全教材对这一过程的理解：

思想上有异曲同工之妙

通过分析离散后的方程式与原方程式的关系推出逼近的过程。

2 用DFS对连续时间的周期信号的傅里叶级数进行逼近

3 谱分析方法中存在的问题以及应对措施

引子

用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换的过程除了对幅度的线性加权之外，由于用到了采样和截断的方法也会带来一些可能产生的问题，使谱分析产生误差。

用DFT进行谱分析实质上是三个步骤：时域抽样、时域截断、频域抽样。

频域混叠（混叠效应）

解决方案：

抗混叠滤波器：

宁缺毋滥

频谱泄漏（截断效应）

概念推导：

例题以及一些重要的概念：

频率分辨率：

改善措施：

原理示意图：

原因分析及图示：

分析：

注意：先截断后延拓。
只取一个周期。（主值区间）
只取一个周期观察不等于截断为一个周期，还隐含周期性。

举一个例子：

有两个谱分量 和 。
这里的频域只考虑了 的主值区间。

两个谱峰挨得也比较近，容易产生频谱泄漏。
谱峰应是信号最高频率成分能量的位置。对应的位置会有偏差。
下面的图才基本正确，因此需要增加宽长。

我们对信号的要求是：主瓣尽可能地窄，过渡带尽可能地窄，旁瓣幅度尽可能地窄。

40点时，换三角窗，由于三角窗的过渡带更宽，同样的窗长下，频谱泄露的现象没也有缓解。

此时160点三角窗效果已经明显好于320点矩形窗了

注意：此时似乎无法发现频谱泄露的现象，其实是因为采样点除了在波峰，均是零点。

总结：

吉布斯现象：N增大后主旁瓣能量比不变，N增大后过渡带变宽。

栅栏效应

时域添零仅增加观察分辨率因为 的频谱 已经是不变的了。

改善方案：

可对补零前的DFT频谱做插值。

小结：

4 用DFT进行谱分析的参数考虑

概念辨析：

DFT参数选择的一般原则

例题：

小结：

5 思考

1、时域截断时，对频域产生的影响？

低频部分近似于理想低通频响特性，高频部分误差较大，且整个频响都有波动。

2、为什么可以用时域序列的有限个截取值进行DFT对原连续频谱的近似过程？

因为时域截断，相当于原序列和矩形序列相乘，产生的效果是频域卷积，对分析的信号频谱产生的影响可以预估和控制。（因为窗函数的频谱已知，首先影响DTFT的频谱，从而影响其DFT抽样后的频谱。）

3、频率分辨率应该如何理解？

实际上应该是一个 临界值 ，表示相邻两个频率间的最小可分辨间隔，受到N的影响，因为不同N值的窗函数，频谱泄漏效果也不同。（频谱泄露产生影响的原因是多个频率信号叠加时，如谐波，（所以对于连续频谱，这种分析天然具有缺陷，这一过程中存在着窗函数频谱对原信号频谱作用的”主值区间“，因此需要确定最小可分辨的频域间隔，防止发生泄漏和谱间串扰现象。）

实际上我们对FT、FS、DTFT、DFS、DFT的分析应视为对同一个频谱进行分析，只是每个变换方程式的单位不同，以及离散连续，周期非周期以及对变换的要求不同，造成式子作出调整，实质上可在同一频谱上对各个式子进行推导。