高等代数理论基础71：双线性函数

双线性函数

双线性函数

定义：V是数域P上一个线性空间,是V上一个二元函数,即,由都唯一对应于P中一个数

,若有性质：

1.

2.

则称为V上的一个双线性函数

注：双线性函数在一个变元固定时,是另一个变元的线性函数

例：

1.欧氏空间V的内积是V上双线性函数

2.设都是线性空间V上的线性函数,

则是V上的一个双线性函数

3.设是数域P上n维列向量构成的线性空间,,是P上一个n级方阵,令,则是上的一个双线性函数

若设

则

是数域P上任意n维线性空间V上的双线性函数的一般形式

取V的一组基

设

则

令

则成为

度量矩阵

定义：设是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数,是V的一组基,则矩阵

称为在下的度量矩阵

注：取定V的一组基后,每个双线性函数都对应于一个n级矩阵,即这个双线性函数在基下的度量矩阵,度量矩阵被双线性函数及基唯一确定,且不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵不同

反之,任给数域P上一个n级矩阵

对V中任意向量,及

其中

用定义的函数是V上一个双线性函数

易知在下的度量矩阵即A

故在给定的基下,V上全体双线性函数与P上全体n级矩阵之间有一个双射

不同基下的双线性函数的度量矩阵

设及是线性空间V的两组基

是V中两个向量

则

若双线性函数在及下的度量矩阵分别为A,B,则

又

故

注：说明同一双线性函数在不同基下的度量矩阵合同

非退化

定义：设是线性空间V上一个双线性函数,若,,有,则称f非退化

可用度量矩阵判断一个双线性函数是否非退化

设双线性函数在基下的度量矩阵为A,则对,有

若向量满足,则,有

故而有非零向量使之成立的充要条件为A退化

故易证双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵