经典问题大数乘法
给两个字符串格式的十进制数字,求这两个数的乘积,以字符串格式返回。
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本篇教你看一遍永远忘不了的大数乘法解法,以及如何将运行时间优化到0ms。
思路
既然是大数,无法放到整数类型的变量中,这时我们的小学知识终于派上了用场!还记得怎么笔算乘法吗?如果不记得,好好回忆一下整个步骤。
我们要做的,就是把这种笔算方法转成代码,就可以解决这个问题了,听上去一点也不难吧?
为什么面试做不出来
然而在面试过程中,很多人都做不出来这道题,这是为什么?
其实思路大家都想得到,只是这看似简单的笔算,其实包含了很多步骤。如果没有把他们理清楚,一步一步地去实现,就很容易把自己绕晕。
步骤拆解
第一步:格式转换
算法的核心是把多位数的乘法转化成很多一位数的乘法,然后加起来。于是我们需要先吧字符串的每一位转成数字,方便计算乘法。
例如:字符串 "123456789"
要转成整数列表 [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
第二步:计算大数与一位数的乘积
对应上图笔算乘法,就是要计算 145 * 2 = 290,还有145 * 1 = 145 这两个步骤。
只要按照从低位到高位的顺序去乘就好了,注意处理进位。
第三步:计算大数加法
对应上图笔算中把290与145相加的步骤。
没错,要做大数乘法,首先得会做大数加法。其实很简单,只要从低位到高位一位一位地相加,注意进位就可以了。
第四步:格式转换
前面计算过程中全部用的是整数列表的格式,计算完成后再把格式转成字符串就可以了。
开始撸代码吧,记得按步骤来
下面代码使用go语言
1. 格式转换
这一步没什么好说的
func convertStringToIntDigitList(stringNum string) []int64 {
digitList := make([]int64, 0)
for i:=0; i
2. 计算大数与一位数的乘积
这一步要注意的是:以及处理好进位,包括最高位的进位。
const base=10
func multiplyDigitListByDigit(digitList []int64, digit int64) []int64 {
if digit == 0 { // 处理边界情况
return make([]int64, 0)
}
var c int64
product := make([]int64, len(digitList))
for i := len(digitList) - 1; i>=0; i-- {
p := digitList[i] * digit + c // 加上低位的进位
c = p / base // 进位
product[i] = p % base
}
if c > 0 {
// 如果还有进位,在最高位加一位
product = append([]int64{c}, product...)
}
return product
}
3. 计算大数加法
const base=10
func addTwoDigitLists(digitList1, digitList2 []int64) []int64 {
sum := make([]int64, 0)
var c int64
for i := 0; i 0 {
sum = append([]int64{c}, sum...)
}
return sum
}
4. 格式转换回字符串
func convertDigitListToString(digitList []int64) string {
numStr := ""
for i:=0; i
5. 最后,将这些步骤整合
func multiply(numStr1, numStr2 string) string {
num1 := convertStringToIntDigitList(numStr1)
num2 := convertStringToIntDigitList(numStr2)
products := make([][]int64, 0)
for i:=0; i
总结
虽然代码行数看起来也不少,但步骤清晰,其中每一步都很简单,看过一遍之后,你还会忘记吗?这就是问题分解的魅力,大题化小,小题化了,一个问题分解成多个很简单的小问题。
当然,我们也可以将这些函数全部合并到同一个函数里面,如果这样做,不仅代码行数减少了,而且代码中会少很多内存分配的步骤,导致内存占用和运行时间都会减少,但代价是更不容易记忆,这当然算追求极致,但对于以面试为目的同学,记得牢才更重要。
进阶,如何优化运行时间?
上面介绍的算法,便于记忆且写法相对简单,但性能还有很大的提升空间。我们代码中用int64来存储数字,但只用来进行一位数的计算。如果能一次计算多位,就能减少计算次数。
可能有人已经注意到,我在代码中定义了一个base的常量为10,代表每个int64只存储一位数。如果将base改成10000,每个int64就可以存储四位数。但同时,两个convert函数也需要修改,四位四位地转换。
优化后的格式转化函数
func convertStringToIntDigitList(stringNum string) []int64 {
digitList := make([]int64, 0)
for i:=len(stringNum)-1; i>=0; i-=4 {
a := 0
if i >= 4 {
a = i-4+1
}
s := stringNum[a:i+1]
d, _ := strconv.ParseInt(s, 10, 64)
digitList = append([]int64{d}, digitList...)
}
return digitList
}
func convertDigitListToString(digitList []int64) string {
numStr := ""
for i:=0; i
到底能减少多少时间?
这样依赖,我们可以减少多少次计算呢?
假设两个大数分别有m位和n位,按照原来的算法需要计算m * n 次乘法,以及n次加法,而新的算法只需要(m/4) * (n/4)次乘法和(n/4)次加法,如果只看乘法,计算次数只有原来的1/16!
同时,存储所需的空间也会减少。原来的算法需要为大数分配(m+n)个int64空间,新的算法只需要四分之一。
优化的极限
按照这种思路,最多一组几位数呢?那就要看int64能装下多少了。众所周知,int64能表示的最大整数是2^63-1也就是9223372036854775807,十进制是19位数。但需要注意的是,在我们的算法中会出现两个int64相乘的计算,也就是我们最多只能存9位数,这样两个9位数相乘最多得到18位数,不会超出int64的范围。
于是我们把base改成1e9(10的9次方),两个convert函数也做相应的修改,就可以得到打败100%网友的代码了。