[蓝桥杯2022初赛A组] 青蛙过河（二分答案、贪心、数据结构优化）

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题意：

很清晰，需要注意的点是，青蛙要往返 2x 次，石头的下标从 $h_1-h_{n-1}$，左岸看作 $h_0$、右岸 $h_n$。

思路：

• 首先很显然的一眼二分答案。二分青蛙的跳跃能力，找到最大的能过河的情况。
• 难点在于 check 函数如何处理。需要基于贪心先得出几个结论：

不管跳跃能力为多少，青蛙在 i 位都会尽可能往右跳，如果 j 位承载不下了，就让 j - 1位，j - 2 位承载…

往返2x次，跟从左到右跳 2x 次本质是一样的

• 我们只需要用一个数组记录每个石头位置能承载的最大跳跃次数（在自身高度限制下），for 循环对于每个 i 往右边传递自身的承载。传递到最后，右岸 $h_n$ 肯定会有一个承载值，判断该值是否为 2x，这就是我们的二分判断了。
• 但根据我们之前的跳跃模拟，是一个双重 for 循环的结构，这样显然会超时。可以注意到，对于任意一个位置 i ，一旦它的高度变成 0 了，之后怎么也不会选择它作为落脚点，我们可以用数据结构，这里是并查集，将该点往前路径压缩，这样就避免了 $O(n^2)$ 的查找，每个点最多被遍历一次。

$Code:$

#include
#include
#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define cinios (ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0))
#define debug(x) cout<<"target is "<<x<<endl
#define forr(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define oper(a) (operator<(const a& ee)const)
#define endl "\n"
#define ul (u << 1)
#define ur (u << 1 | 1)
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 100010, M = 500010, MM = 110;
int INF = 0x3f3f3f3f, mod = 998244353;
ll LNF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n, m, k, x;
ll s[N], a[N], h[N];
int p[N];
int find(int x) {
	return p[x] == x ? p[x] : p[x] = find(p[x]);
}

bool check(int y) {
	mem(s, 0);//s 数组记录每个位置的 承载
	s[0] = 2 * x;//初始左岸有 2x 的次数承载
	for (int i = 1; i < n; i++)a[i] = h[i];//a 数组是高度限制
	for (int i = 0; i <= n; i++)p[i] = i;

	for (int i = 0; i < n; i++) {
		int to = i + y;//每一个位置贪心往最右边跳

		if (to >= n) { //能到右岸就直接给完
			s[n] += s[i];
		}
		else {
			while (1)
			{
				//对于 to 位置，承载被 a[to] 限制
				int mi = min(a[to], s[i]);
				s[to] += mi; s[i] -= mi;
				a[to] -= mi;

				if (a[to] == 0) { //如果高度为0，该点之后无需被遍历到
					p[to] = to - 1;//路径压缩到上一个点
				}
				if (s[i] == 0)break;//承载用完就退出

				to = find(to - 1);//跳到上一个位置的父节点
				if (to <= i)break;//不能跳到 i 点之前
			}
		}
	}

	return s[n] == 2 * x;
}

void solve() {
	cin >> n >> x;
	for (int i = 1; i < n; i++)cin >> h[i];

	int l = 1, r = n;
	while (l < r)
	{
		int mid = l + r >> 1;
		if (!check(mid))l = mid + 1;
		else r = mid;
	}

	cout << l;
}

int main() {
	cinios;
	int T = 1;
	forr(t, 1, T) {
		solve();
	}
	return 0;
}
/*
*/