小议“割圆术”

                            小议“割圆术”

                  ---圆周率的计算历程

      “割圆术”是什么？“割圆术”并不是把圆割开，而是为了计算圆周率，不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法。由3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创。刘徽用这种算法得到圆周率约是3.1416，这个数值在当时已经非常领先。直至两百年后数学大拿祖冲之横空出世，把圆周率计算到了3.1415926<π<3.1415927之间，这个结果领先西方国家1000多年，不得不说中国古代的数学家太厉害了！祖冲之的计算方法“缀术”很不幸已失传，但我国现代著名数学家华罗庚认为“缀术”仍然是割圆术。可见割圆术的方法非同一般。

      那“割圆术”是怎样计算圆周率的呢？割圆术的关键在于计算所需要的正多边形的周长，让其作为圆的周长，除以直径便可以得到圆周率。另外解决这个问题我们应该弄明白割圆术中的倍增，也就是成倍数增加。比如开始给定的是正四边形，那么下一次就要用到正八边形，下一次就是正十六边形，以此类推。

      下面是割圆术计算圆周长的部分推导过程：涉及勾股定理，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果两条直角边用a和b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可以用符号语言表达为：

    首先做一个半径是1的圆，如下图：

    而我们不难得出，当N=6时，BD长度为1，所以代入上面的公式，我们便可求出正12边形的边长，用正12边形的边长我们就可求出正24边形的边长，依次倍增即可。然后用求得的正多边形的周长，作为圆的周长，除以直径便可以得到圆周率的近似值。当然边长数越大这个近似值也就越精确。

    其实，我们也可以用割圆术，计算正多边形的面积，用正多边形的面积逼近圆的面积，也可得圆周率的近似值。

    现代社会，已经有很多方法求导圆周率，大数学家欧拉就用级数的方法计算，似乎“割圆术”已经过时了。但义务教育阶段仍然会出现，小学6年级推导圆的面积时，割圆术作为其中一种方法出现，可能是因为这种逼近思想恰巧是微积分的萌芽吧！