回溯(Back Tracking)
◼ 回溯可以理解为:通过选择不同的岔路口来通往目的地(找到想要的结果)
每一步都选择一条路出发，能进则进，不能进则退回上一步(回溯)，换一条路再试
◼ 树、图的深度优先搜索(DFS)、八皇后、走迷宫都是典型的回溯应用
◼ 不难看出来，回溯很适合使用递归
练习 – 八皇后问题(Eight Queens)
◼ 八皇后问题是一个古老而著名的问题
在8x8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击:任意两个皇后都不能处于同一行、同一列、同一斜线上
请问有多少种摆法?
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leetcode_51_N皇后
leetcode_52_N皇后 II
八皇后问题的解决思路
◼ 思路一：暴力出奇迹
从 64 个格子中选出任意 8 个格子摆放皇后，检查每一种摆法的可行性
一共 C8 种摆法(大概是 4.4 ∗ 109 种摆法) 64
◼ 思路二：根据题意减小暴力程度
很显然，每一行只能放一个皇后，所以共有 88 种摆法(16777216 种)，检查每一种摆法的可行性
◼ 思路三：回溯法
回溯 + 剪枝
四皇后 – 回溯法
◼ 在解决八皇后问题之前，可以先缩小数据规模，看看如何解决四皇后问题
◼ 蓝色:可摆放
◼ 绿色:已摆放
◼ 黑色:不能摆放
◼ 红色箭头:回溯
四皇后 – 剪枝(Pruning)
八皇后 – 回溯法
package alangeit;
public class Queens {
public static void main(String[] args) {
new Queens().placeQueens(4);
}
/**
* 数组索引是行号，数组元素是列号
*/
int[] cols;
/**
* 一共有多少种摆法
*/
int ways;
void placeQueens(int n) {
if (n < 1) return;
cols = new int[n];
place(0);
System.out.println(n + " 皇后一共有 " + ways + " 种摆法");
}
/**
* 从第row行开始摆放皇后
* @param row 行号
*/
void place(int row) {
if (row == cols.length) {
ways++;
show();
return;
}
for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
if (isValid(row, col)) {
// 在第row行第col列摆放皇后
cols[row] = col;
place(row + 1);// 回溯在这句代码之后执行，触发col++
}
}
}
/**
* 判断第row行第col列是否可以摆放皇后
*/
boolean isValid(int row, int col) {
for (int i = 0; i < row; i++) {
// 第col列已经有皇后
if (cols[i] == col) {
System.out.println("[" + row + "][" + col + "]=false");
return false;// 竖线上已经有皇后
}
// 第i行的皇后跟第row行第col列格子处在同一斜线上
if (row - i == Math.abs(col - cols[i])) {
// 通过斜率判断，45度斜率为1，所以可以用row - i == Math.abs(col - cols[i])来判断
System.out.println("[" + row + "][" + col + "]=false");
return false;// 斜线上已经有皇后
}
}
System.out.println("[" + row + "][" + col + "]=true");
return true;
}
void show() {
for (int row = 0; row < cols.length; row++) {
for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
if (cols[row] == col) {
System.out.print("1 ");
} else {
System.out.print("0 ");
}
}
System.out.println();
}
System.out.println("------------------------------ 第 " + ways + " 种");
}
}
八皇后实现 – 合法性检查
/**
* 存放每一个皇后的列号(在第几列)
*/
int[] cols;
/**
* 一共有多少种摆法
*/
int ways;
/**
* 判断第row行第col列是否可以摆放皇后
*/
boolean isValid(int row, int col) {
for (int i = 0; i < row; i++) {
// 第col列已经有皇后
if (cols[i] == col) return false;
// 第i行的皇后跟第row行第col列格子处在同一斜线上
if (row - i == Math.abs(col - cols[i])) return false;
}
return true;
}
八皇后实现 – 打印
/**
* 显示皇后的摆放情况
*/
void show() {
for (int row = 0; row < cols.length; row++) {
for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
if (cols[row] == col) {
System.out.print("1 ");
} else {
System.out.print("0 ");
}
}
System.out.println();
}
System.out.println("------------------------------ 第 " + ways + " 种");
}
八皇后实现 – 从某一行开始摆放皇后
/**
* 从第row行开始摆放皇后
* @param row 行号
*/
void place(int row) {
if (row == cols.length) {
ways++;
show();
return;
}
for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
if (isValid(row, col)) {// 这个判断相当于剪枝操作
// 在第row行第col列摆放皇后
cols[row] = col;
place(row + 1);// 回溯在这句代码之后执行，触发col++
}
}
}
八皇后实现 – 摆放所有皇后
/**
* 一共有多少种摆法
*/
int ways;
void placeQueens(int n) {
if (n < 1) return;
cols = new int[n];
place(0);
System.out.println(n + " 皇后一共有 " + ways + " 种摆法");
}
八皇后优化 – 成员变量
/**
* 标记着某一列是否有皇后
*/
boolean[] cols;
/**
* 标记着某一斜线上是否有皇后（左上角 -> 右下角）
*/
boolean[] leftTop;
/**
* 标记着某一斜线上是否有皇后（右上角 -> 左下角）
*/
boolean[] rightTop;
/**
* 一共有多少种摆法
*/
int ways;
八皇后优化 – 从某一行开始摆放皇后
/**
* 从第row行开始摆放皇后
* @param row
*/
void place(int row) {
if (row == cols.length) {
ways++;
return;
}
for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
if (cols[col]) continue;
int ltIndex = row - col + cols.length - 1;
if (leftTop[ltIndex]) continue;
int rtIndex = row +col;
if (rightTop[rtIndex]) continue;
queens[row] = col;
cols[col] = leftTop[ltIndex] = rightTop[rtIndex] = true;
place(row + 1);
cols[col] = leftTop[ltIndex] = rightTop[rtIndex] = false;
}
}
八皇后优化 – 摆放所有皇后
void placeQueens(int n) {
if (n < 1) return;
queens = new int[n];
cols = new boolean[n];
leftTop = new boolean[(n << 1) - 1];
rightTop = new boolean[leftTop.length];
place(0);
System.out.println(n + "皇后一共有" + ways + "种摆法");
}
八皇后优化 – 对角线
◼左上角 -> 右下角的对角线索引:row – col + 7
◼右上角 -> 左下角的对角线索引:row + col
八皇后优化 – 位运算
◼ 可以利用位运算进一步压缩八皇后的空间复杂度
/**
* 标记着某一列是否有皇后
*/
boolean[] cols;
/**
* 标记着某一斜线上是否有皇后（左上角 -> 右下角）
*/
boolean[] leftTop;
/**
* 标记着某一斜线上是否有皇后（右上角 -> 左下角）
*/
boolean[] rightTop;
/**
* 一共有多少种摆法
*/
int ways;
/**
* 从第row行开始摆放皇后
* @param row
*/
void place(int row) {
if (row == 8) {
ways++;
return;
}
for (int col = 0; col < 8; col++) {
int cv = 1 << col;
if ((cols & cv) != 0) continue;
int lv = 1 << (row - col + 7);
if ((leftTop & lv) != 0) continue;
int rv = 1 << (row + col);
if ((rightTop & rv) != 0) continue;
queens[row] = col;
cols |= cv;
leftTop |= lv;
rightTop |= rv;
place(row + 1);
cols &= ~cv;
leftTop &= ~lv;
rightTop &= ~rv;
}
}
void place8Queens() {
queens = new int[8];
place(0);
System.out.println("8皇后一共有" + ways + "种摆法");
}
作业
全排列
全排列 II
组合总和
组合总和 II
子集
子集 II