【恋上数据结构与算法二】(五)回溯(Back Tracking)

回溯(Back Tracking)

◼ 回溯可以理解为:通过选择不同的岔路口来通往目的地(找到想要的结果)
每一步都选择一条路出发，能进则进，不能进则退回上一步(回溯)，换一条路再试

◼ 树、图的深度优先搜索(DFS)、八皇后、走迷宫都是典型的回溯应用

◼ 不难看出来，回溯很适合使用递归

练习 – 八皇后问题(Eight Queens)

◼ 八皇后问题是一个古老而著名的问题
在8x8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击:任意两个皇后都不能处于同一行、同一列、同一斜线上
请问有多少种摆法?

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leetcode_51_N皇后

leetcode_52_N皇后 II

八皇后问题的解决思路

◼ 思路一：暴力出奇迹
从 64 个格子中选出任意 8 个格子摆放皇后，检查每一种摆法的可行性
一共 C8 种摆法(大概是 4.4 ∗ 109 种摆法) 64

◼ 思路二：根据题意减小暴力程度
很显然，每一行只能放一个皇后，所以共有 8⁸ 种摆法(16777216 种)，检查每一种摆法的可行性

◼ 思路三：回溯法
回溯 + 剪枝

四皇后 – 回溯法

◼ 在解决八皇后问题之前，可以先缩小数据规模，看看如何解决四皇后问题

◼ 蓝色:可摆放
◼ 绿色:已摆放
◼ 黑色:不能摆放
◼ 红色箭头:回溯

四皇后 – 剪枝(Pruning)

八皇后 – 回溯法

package alangeit;

public class Queens {

    public static void main(String[] args) {
        new Queens().placeQueens(4);
    }
    
    /**
     * 数组索引是行号，数组元素是列号
     */
    int[] cols;
    
    /**
     * 一共有多少种摆法
     */
    int ways;
    
    void placeQueens(int n) {
        if (n < 1) return;
        cols = new int[n];
        place(0);
        System.out.println(n + " 皇后一共有 " + ways + " 种摆法");
    }
    
    /**
     * 从第row行开始摆放皇后
     * @param row 行号
     */
    void place(int row) {
        if (row == cols.length) {
            ways++;
            show();
            return;
        }
        
        for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
            if (isValid(row, col)) {
                // 在第row行第col列摆放皇后
                cols[row] = col;
                place(row + 1);// 回溯在这句代码之后执行，触发col++
            }
        }
    }
    
    /**
     * 判断第row行第col列是否可以摆放皇后
     */
    boolean isValid(int row, int col) {
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            // 第col列已经有皇后
            if (cols[i] == col) {
                System.out.println("[" + row + "][" + col + "]=false");
                return false;// 竖线上已经有皇后
            }
            // 第i行的皇后跟第row行第col列格子处在同一斜线上
            if (row - i == Math.abs(col - cols[i])) {
                // 通过斜率判断，45度斜率为1，所以可以用row - i == Math.abs(col - cols[i])来判断
                System.out.println("[" + row + "][" + col + "]=false");
                return false;// 斜线上已经有皇后
            }
        }
        System.out.println("[" + row + "][" + col + "]=true");
        return true;
    }
    
    void show() {
        for (int row = 0; row < cols.length; row++) {
            for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
                if (cols[row] == col) {
                    System.out.print("1 ");
                } else {
                    System.out.print("0 ");
                }
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("------------------------------ 第 " + ways + " 种");
    }
}

八皇后实现 – 合法性检查

/**
 * 存放每一个皇后的列号(在第几列)
 */
int[] cols;
/**
 * 一共有多少种摆法
 */
int ways;

/**
 * 判断第row行第col列是否可以摆放皇后
 */
boolean isValid(int row, int col) {
    for (int i = 0; i < row; i++) {
        // 第col列已经有皇后
        if (cols[i] == col) return false;
        // 第i行的皇后跟第row行第col列格子处在同一斜线上
        if (row - i == Math.abs(col - cols[i]))  return false;
    }
    return true;
}

八皇后实现 – 打印

/**
 * 显示皇后的摆放情况
 */
void show() {
    for (int row = 0; row < cols.length; row++) {
        for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
            if (cols[row] == col) {
                System.out.print("1 ");
            } else {
                System.out.print("0 ");
            }
        }
        System.out.println();
    }
    System.out.println("------------------------------ 第 " + ways + " 种");
}

八皇后实现 – 从某一行开始摆放皇后

/**
 * 从第row行开始摆放皇后
 * @param row 行号
 */
void place(int row) {
    if (row == cols.length) {
        ways++;
        show();
        return;
    }
    
    for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
        if (isValid(row, col)) {// 这个判断相当于剪枝操作
            // 在第row行第col列摆放皇后
            cols[row] = col;
            place(row + 1);// 回溯在这句代码之后执行，触发col++
        }
    }
}

八皇后实现 – 摆放所有皇后

/**
 * 一共有多少种摆法
 */
int ways;

void placeQueens(int n) {
    if (n < 1) return;
    cols = new int[n];
    place(0);
    System.out.println(n + " 皇后一共有 " + ways + " 种摆法");
}

八皇后优化 – 成员变量

/**
 * 标记着某一列是否有皇后
 */
boolean[] cols;
/**
 * 标记着某一斜线上是否有皇后（左上角 -> 右下角）
 */
boolean[] leftTop;
/**
 * 标记着某一斜线上是否有皇后（右上角 -> 左下角）
 */
boolean[] rightTop;
/**
 * 一共有多少种摆法
 */
int ways;

八皇后优化 – 从某一行开始摆放皇后

/**
 * 从第row行开始摆放皇后
 * @param row
 */
void place(int row) {
    if (row == cols.length) {
        ways++;
        return;
    }
    
    for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
        if (cols[col]) continue;
        int ltIndex = row - col + cols.length - 1;
        if (leftTop[ltIndex]) continue;
        int rtIndex = row +col;
        if (rightTop[rtIndex]) continue;
        
        queens[row] = col;
        cols[col] =  leftTop[ltIndex] = rightTop[rtIndex] = true;
        place(row + 1);
        cols[col] = leftTop[ltIndex] = rightTop[rtIndex] = false;
    }
}

八皇后优化 – 摆放所有皇后

void placeQueens(int n) {
    if (n < 1) return;
    queens = new int[n];
    cols = new boolean[n];
    leftTop = new boolean[(n << 1) - 1];
    rightTop = new boolean[leftTop.length];
    place(0);
    System.out.println(n + "皇后一共有" + ways + "种摆法");
}

八皇后优化 – 对角线

◼左上角 -> 右下角的对角线索引:row – col + 7

◼右上角 -> 左下角的对角线索引:row + col

八皇后优化 – 位运算

◼ 可以利用位运算进一步压缩八皇后的空间复杂度

/**
 * 标记着某一列是否有皇后
 */
boolean[] cols;
/**
 * 标记着某一斜线上是否有皇后（左上角 -> 右下角）
 */
boolean[] leftTop;
/**
 * 标记着某一斜线上是否有皇后（右上角 -> 左下角）
 */
boolean[] rightTop;
/**
 * 一共有多少种摆法
 */
int ways;

/**
 * 从第row行开始摆放皇后
 * @param row
 */
void place(int row) {
    if (row == 8) {
        ways++;
        return;
    }
    
    for (int col = 0; col < 8; col++) {
        int cv = 1 << col;
        if ((cols & cv) != 0) continue;
        
        int lv = 1 << (row - col + 7);
        if ((leftTop & lv) != 0) continue;
        
        int rv = 1 << (row + col);
        if ((rightTop & rv) != 0) continue;
        
        queens[row] = col;
        cols |= cv;
        leftTop |= lv;
        rightTop |= rv;
        place(row + 1);
        cols &= ~cv;
        leftTop &= ~lv;
        rightTop &= ~rv;
    }
}

void place8Queens() {
    queens = new int[8];
    place(0);
    System.out.println("8皇后一共有" + ways + "种摆法");
}

作业

全排列
全排列 II
组合总和
组合总和 II
子集
子集 II