每两个连续正整数的平方之间必有至少两个素数

Legendre猜想：每两个连续整数的平方之间必有一个素数

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定理：每两个连续正整数的平方之间必有至少两个素数

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证明 1 ：

设 是 前奇素数，
因为，如果 是一个合数，那么 一定有一个素因子不超过
如果 是一个合数，那么 的全部素因子皆不超过
所以：如果 中的 是合数，那么 一定有一个素因子小于
而 由于 不可能是平方数，所以一定有一个素因子小于 (不用取等号).
其中 总共有 个数，这些数不能全部是合数，因为： 是 中的 个
为偶数时 不能全部是合数， 为奇数时 不能全部是合数：

为偶数时
假设 全部是合数，必有 不同时是等价错误，同哥德巴赫猜想的证明中一样多个 即 前每个 都整除 是最小解： 且这是荒谬的；
所以 为偶数时 中必有素数;

为奇数时
不能全部是合数： 对全部 都有
这是错误的，因逆是自个的只有 和
为奇数时,不可能全部成立；

与 之间必有素数 或者
而 时， 这些平方数之间都有两个素数；
可以推断：
与 之间必有至少两个素数，因为

或者 中必有素数(证法同上)；
所以： 与 之间必有至少两个素数；
勒让德Legendre猜想：每两个连续整数的平方之间必有一个素数，得证.

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证明 2：

若 是正整数， 表示不超过 的素数的个数， 则

其中

由威尔逊定理： 是素数,则
以及其逆定理：若 是正整数，且 则 是素数；
可得： 是素数的充分必要条件是：

可知：上式中 是素数时

是合数时

当然， ,因为 不是素数，也不是合数。
可知： 是不减序列；

那么

因为

而 时是最小差，这个最小差不会消失：

所以有：

即：每两个连续整数的平方之间必有至少两个素数.

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一些有用的结论：

（上式累加即得）；即

后续 个数必有至少两个素数；

后续 个数中必有至少个素数(即伯特兰猜想)；

后续 个数必有至少两个素数.

上面结论都能用

推出, 因

存在的最小差不会消失 时是最小差)，因 是不减序列.

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