DFS深度优先算法 —— AcWing 842. 排列数字AcWing 843. n-皇后问题

一、了解dfs

1、DFS（Depth First Search）

DFS在我看来就是一条路走到黑，直到无路可走的情况下，才会选择回头，然后重新选择一条路（官方说法即“优先考虑深度”）整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。属于盲目搜索,最糟糕的情况算法时间复杂度为O(!n)。

2、算法思想

回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

二、AcWing 842. 排列数字

1.题目

https://www.acwing.com/problem/content/844/

2.dfs 递归过程手动模拟：

3.代码

public class Main{
    static int []path=new int[10];// 从0到n-1共n个位置 存放一个排列
    static boolean []sta=new boolean[10];  
 // 存放每个数字的使用状态 true表示使用了 false表示没使用过
    static int n;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        n=sc.nextInt();
        dfs(0); // 在path[0]处开始填数
    }

    private static void dfs(int u) {
        if(u==n){        // 一个排列填充完成
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                System.out.print(path[i]+" ");
            }
            System.out.println();
            return;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if (!sta[i]) {
                path[u]=i;      // 把 i 填入数字排列的位置上
                sta[i]=true;    // 表示该数字用过了 不能再用
                dfs(u+1);     // 这个位置的数填好 递归到右面一个位置
                sta[i]=false;   // 恢复现场 该数字后续可用
            }
        }
    }
}

三、AcWing 843. n-皇后问题

1.题目

https://www.acwing.com/problem/content/845/

2.思路分析

每一行必定有一个皇后，对行进行深度遍历。

对于第 r 行的第 i 个位置，判断每个点是否可以放皇后，如果可以，则放皇后，然后处理 r + 1 行。

直到 r = n，程序指行完毕。

• 函数名：void dfs(int r): 深度优先遍历函数。参数r：从第r行开始放棋子，处理第r行。

• 递归结束判定：见代码，当 r == n的时候，说明应该处理第 n行了，也代表第 0~n-1行放好棋子，也就是整个棋盘放好了棋子，也就是得到了一种解，也就是递归结束。

• 第r行，第i列能不能放棋子：用数组dg udg cor 分别表示：点对应的两个斜线以及列上是否有皇后。

• dg[i + r] 表示 r行i列处，所在的对角线上有没有棋子，udg[n - i + r]表示 r行i列处，所在的反对角线上有没有棋子，cor[i]表示第i列上有没有棋子。如果 r行i列的对角线，反对角线上都没有棋子，即!cor[i] && !dg[i + r] && !udg[n - i + r]为真，则代表 r行i列处可以放棋子。

• dg[i+r] 和udg[r-i+n]的理解，对角线y1=x1+b1，y2=-x2+b2,如果在不同行，但在同一对角线，经过方程计算得到的截距都是一样的，那么b1=y1-x1,b2=y2+x2，同时为了防止y1-x1是个负数，加上偏移量n

3.代码

import java.util.Scanner;

public class Main{
    static int N=11,n;
    static char [][]q=new char[N][N];   //存储棋盘
    static boolean []cor=new boolean[N];      //判断列是否有皇后
    static boolean []dg=new  boolean[N*2];      //判断对角线是否有皇后,n * n的矩阵，存在r + i也就是行加上列求截距的操作，必须开两倍大否则就爆了
    static boolean []udg=new boolean[N*2];      //判断反对角线是否有皇后

    public static void main(String[] args) {
     Scanner sc=new Scanner(System.in);
     n=sc.nextInt();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                q[i][j]='.';
            }
        }
        dfs(0);
    }

    private static void dfs(int r) {
        if(r==n){ //代表棋盘处理完毕，是结束出口
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                for (int j = 0; j < n; j++) {
                    System.out.print(q[i][j]);
                }
                System.out.println();
            }
            System.out.println();
            return;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) { //第r行，第i列是否可以放皇后
            //对角线y1=x1+b1，y2=-x2+b2,那么b1=y1-x1,b2=y2+x2
            //为了防止y1-x1是个负数，加上偏移量n
            if(!cor[i] &&!dg[i+r] &&!udg[r-i+n]){
             q[r][i]='Q';
             cor[i]=dg[i+r]=udg[r-i+n]=true;
             dfs(r+1);  //去下一行遍历
             cor[i]=dg[i+r]=udg[r-i+n]=false;  //恢复现场
             q[r][i]='.';
            }
        }
    }
}

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