解析几何之目~抛物线的弦和切线：2019年全国卷C题21

已知曲线为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为 .

（1）证明：直线过定点；

（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积。

【分析】

由形入手分析，对于题设直线上的每一个点，可以作两条切线。从对称性角度分析，因为抛物线和直线关于轴对称，所以，弦上的这个定点一定在轴上。直线的方程可以化为以下形式：

抛物线的弦的斜率与弦的中点存在以下联系：. 此处代表弦的中点的坐标。这是用平方差法推导得出的常用结论。

假如在保持弦的斜率不变的情况下，让弦向下移动，两个端点会向中点靠拢，最终三点重合，弦就变为抛物线的切线。因此，以上公式对切线同样有效，代表切点的坐标。

由形入手分析，对于上每个动点，可以作出两条切线；从代数的角度，把点坐标作为参数，可以列出一个方程（二次方程），该方程的解与两个切点相对应。

有了两个切点的坐标，就可以写出弦的方程。假如解出两点坐标再写方程，计算量较大。

应用以上常用结论，可以根据弦的两个端点的坐标求出其斜率。借助韦达定理，在不解二次方程的情况下，即可求出中点坐标和弦的斜率，从而得出弦的方程。

【解答第1问】

本题中，抛物线的切线的斜率与切点坐标存在如下关系：. 其中，代表切点坐标。

设点坐标为，切点坐标可记作：

两个切点的坐标满足以下方程：

直线的点斜式方程为：

结论：直线经过定点

【解答第2问】

本题中，抛物线关于轴对称，所以弦的斜率一定是存在的。

当，其方程为 , 中点为 , 满足题设要求。

此时的坐标为

以下考虑的情况。

设弦中点的横坐标为 , 应用第1问结论，直线方程为：

中点坐标为：

满足条件的直线的有两条：

两条直线关于轴对称，所得四边形面积相等。

今取方程可化为：, 点坐标为

点与的距离：

联立直线与抛物线方程并消元可得：

结论：四边形的面积为或 .

【易错点】

本题中，斜率为0时，满足题设条件，但此时斜率不存在，所以很容易漏解。

为避免漏解，应从两个方面着手：一是多画图，养成从几何角度分析的习惯；二是针对直线与坐标轴平行或者垂直的情况，要分情况讨论，同样要在平时的解题过程中培养好习惯。

【提炼与提高】

本题难度不高，却很有典型性。韦达定理和平方差法是高中解析几何中最重要的两种方法，在本题解答中都用到了。

本题涉及了以下几何对象：抛物线、圆、弦、切线、四边形和三角形。

在本题中还可以看到以下典型的基本问题：求弦长、求点和直线的距离、求三角形和四边形的面积。