070101-01-002-基础数学之平面几何知识点精讲汇总-点，线，面

一.点，线，面的知识框架图

点，线，面.jpg

二.点，线，面的定义与概念

1.点

原始概念，无法被定义

2.线

原始概念，无法被定义

3.面

原始概念，无法被定义

4.原始概念

在一个科学系统中总是要对概念下定义，而且一定会用一些已知的概念来定义新的概念，但概念的个数是有限的，又由第二条规则可知，下定义是不能恶性循环的，因此总有一些概念不能引用别的概念来定义，这样的概念叫做这个科学体系中的原始概念。在数学中，点、直线、平面、集合，空间、数、量等都是原始概念，但在其中有些是通过公理来直接描述的，虽然有些概念在中学课本中也有解释，但这种解释并不是定义

三.点，线，面的历史与起源

1.起源

点，线，面皆出自欧几里得的《几何原本》，它们是这样被描述的
点：点是没有部分的
线：线只有长度而没有宽度
面：面只有长度和宽度
注意：这些描述并不是定义，点线面是无法被定义的

四.点，线，面的性质与特性

1.点

1.不可定义性：定义无效
2.确定性：任意 1 个点都可以用有序数对精确地定位
3.唯一性：1 组有序数对能且只能定位 1 个点
4.互异性：任意两个点都是不同的对象
5.只有位置，没有大小

2.线

1.不可定义性：定义无效
2.直线是它上面的点一样地平放着的线
3.线段(有限直线)可以无限地延长
4.线只有长度而没有宽度
5.一条有限直线可以继续延长

3.面

1.不可定义性：定义无效
2.面只有长度和宽度，没有厚度
3.平面是它上面的线一样的平放着的面

五.点，线，面的区别与联系

1.点与点

1.1 点和点重合
1.2 点和点不重合

2.线与线

2.1相交
2.2平行
2.3异面

3.面与面

3.1 两个平面平行
3.1 两个平面相交

4.点，线，面

4.1 线的两端是点
4.2 过两点有且只有一条直线
4.3 面的边缘是线
4.4 由任意一点到任意一点可作直线
4.5 如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
4.6 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线
4.7 经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

六.点，线，面的组织与架构

1.点

1.1 端点 —1 条线段两端上的点或1条射线一端上的点
1.2 等分点—把 1 条线段平均分成若干条线段的点
1.3 顶点—图形的边的公共点
1.4 交点—两条直线的公共点

2.线

A 直线

A.1 直线—可以向两端无限延伸的直线
A.2 射线—一端被固定，另一端可以无限延伸的直线
A.3 线段—两端都被固定，有固定的长度，无法延伸的直线

B 曲线

B.1 弧线——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）
B.2 圆锥曲线
由一平面截二次锥面得到的曲线
B.3割圆曲线
可以用来解决化圆为方问题的曲线
化圆为方问题？
求作一个正方形，使它的面积与已知圆的面积相等，称为化圆为方问题
B.4 螺旋线

3.面

A 平面

B 曲面

七.附录—关于概念，定义，公理，公设，定理，命题，推理，引理，推论的说明

A:概念

A1.在头脑里所形成的反映对象的本质属性的思维形式。把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，就成为概念

1.概念是一种思维形式
2.这种思维形式是在头脑中所形成的
3.这种思维形式反映了对象的本质属性
4.如何形成概念？—把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括
5.表达概念的语言形式是词或词组
6.概念都有内涵和外延。概念的内涵即该概念所反映的事物对象所特有的属性。概念的外延就是指这个概念所反映的事物对象的范围，即具有概念所反映的属性的事物或对象。

A2.概念是思维形式最基本的组成单位，是构成命题、推理的要素

B:定义

1.定义的对象是概念
2.定义需要说明此概念的上位概念，探讨概念在其上位概念所包含的其他下位概念之间的区别。
句式：a是怎样的b
举例：苹果是一种水果

C:命题

1.几何学对图形性质及其相互关系的研究结果，用命题来表达。
2.判断它是正确或错误的句子叫做命题。正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
2.命题包括假设（假设表明全部条件）和结论（表明由这些条件产生的事实）

D:公理

合理的假设，不必要证明的，公认的真命题叫做公理。公理适用于所有对象

E:公设

合理的假设，不必要证明的，仅适用于平面几何的真命题叫做公设。

F:定理

有些命题可以从公理和其它真命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其它命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

G:推理

1.由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程
2.推理的作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识
3.推理主要有演绎推理（从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊）和归纳推理（从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般）

H:引理

为了方便一个命题的证明而介绍的预备命题，称为引理

I:推论

从定理立刻推出的命题称为推论。