图-概念和定理, 2022-07-01

(2022.07.01 Fri)

概念

图G由顶点(vertices)集合V和连接V中顶点的边(edge)的集合E组成。有些书上成顶点为nodes，称边为arcs。

• 有向(directed)：图中的边或者有向或者无向(undirected)。如果两个顶点u和v的连接是有序的，从u指向v，则称该边(u, v)有向。如果u和v无序，则边(u, v)无向。无向边有时被表示成{u, v}，但为了简单常使用(u, v)表示。对于无向边(u, v)，等价于(v, u)。无向边的两个顶点对称(symetric)，有向边的两顶点非对称(asymetric)。如果图中的所有边都是无向边，称该图为无向图；相应的，所有边有向，称之为有向图(digraph)。如果图中有的边有向有的边无向，称之为混合图(mixed graph)。
• 边的两个端点被称为边的end vertices/endpoints。如果边有向，则第一个endpoint称为源点(origin)，另一个endpoint称为终点(destination)。
• 相邻(adjacent)：如果两个顶点u和v是一个边的两个顶点，则称u和v相邻。
• 附带(incident)：如果一个顶点是一条边的终点，则称这条边附带于(be incident to)这个顶点
• 出发(outgoing)/进入(incoming)边：当一个顶点是有向边的起点，称该边是顶点的出发边；当一个顶点是一条有向边的终点，称该边是该顶点的进入边。
• 度(degree)：顶点v的度，标记为deg(v)，是该顶点附带边的个数。顶点的进度(in-degree)和出度(out-degree)分别是该点的进入边数和出发边数，分别标记为indeg(v)和outdeg(v)。
• 并行边(parallel edges)/多边(multiple edges)：两个无向边共享相同的顶点，或两个有向边共享相同的起点和终点，比如飞机航线，两个城市之间有来往两个航班
• 自环(self-loop)：如果一条有向或无向边的两个顶点为同一点，则称该边self-loop。
• 简单图(simple)：没有并行边或自环的图称为简单图。因此简单图的边可以表示为顶点对(vertex pair)的集(set)。
• 路径(path)：路径是顶点和边交替的一个序列，该序列始于一个顶点终于一个顶点，其中每个边都是附带于其predecessor和successor顶点。如果该路径中的节点互不重复，则称该路径简单(simple)。有向路径(directed path)是路径中的边都是有向边，且沿着各边的方向行进。
• 环(cycle)：是以同一个点为起点和终点的路径，并至少包括一条边。如果该环中除了起点和终点，其他点都互不重复，则称该环简单。有向图概念类似有向边。
• 无环(acyclic)：有向图如果没有有向环，则称为无环。
• 可达(reachable)：有向图中，如果从顶点u到顶点v有有向路径，则称u到达(reaches)v，或v从u可达(v is reachable from u)。在无向图中，可达性是对称的，u可达v则v可达u。在有向图中，很可能出现u到达v但v不能到达u的情况。
• 联通(connected)：如果一个图中任意两点都有路径连接，则称该图联通。一个有向图是强联通的，如果任何两点都能到达对方。
• 子图(subgraph)：一个图如果其顶点和边是另一个图的子集，则称该图为另一个图的子图。
• 生成子图(spanning subgraph)：一个图是另一个图G的子图，且包含G的所有顶点，则该图是G的生成子图。如果图G不联通，则它的最大联通子图被称为联通分量(connected components of G)。
• 森林(forest)：没有环的图成为森林。
• 树(tree)：联通的树，即无环的联通图称为树。
• 生成树(spanning tree)：图的生成树是树形生成子图。

定理

• 图G中有m条边，顶点集V，则有
  
  说明：在计算度时，每条边都会被它的两个顶点计算一次，所以顶点度的和是边数的2倍。
• 有向图G有m条边，和顶点集合V，有
  
• 图G是简单图，含有n个顶点和m条边，若G无向，则有，如果G有向，则有。即，n个顶点的图，其边数为。
  说明：用排列、组合的思路解决。
• 图G是无向图，有n个顶点和m条边
  • 如果G联通，则
  • 如果G是树，则
  • 如果G是森林，则

Reference

1 Goodrich and etc., Data Structures and Algorithms in Python