Barrett reduction算法

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1.模乘的两种优化

1.蒙哥马利模乘算法

2.Barrett reduction算法

使用算法1需要满足条件,模数N和进制数R互质

当不符合此条件时,使用算法2

这次来记录下第二种算法,防止遗忘

2.先说一下流程

b进制下,求 x mod m,默认大于0

m为k位数(b进制下),x位数小于等于2*k

//b^n代表b的n次幂,mu=b^2k / m,可以预计算
int BaRdc(x){
      q1 = x / b^(k-1);//右移k-1位,取整,后面同
      q2 = q1 * mu;
      q3 = q2 / b^(k+1);//移位
      r1 = x % b^(k+1);//取低k位,因为mod m,m是k位的,所以只需看低k位即可
      r2 = (q3 * m) % b^(k+1);//低k位
      r = r1 - r2;//低k位相减
      if ( r > m ) r -= m;
      return r;
}

3.原理说明

mu=[b2km ]mu=[b2km ]
q1=[xbk−1 ]q1=[xbk−1 ]方括号代表取整
q2=q1×muq2=q1×mu
q3=[q2bk+1 ]q3=[q2bk+1 ]
可以得到几个范围
xbk−1−1 b2km−1 x×bk+1m−b2km−xbk−1+1 xm−bk−1m−xb2k+1bk+1 另外还有两个显然的条件
bk−1m≤1,xb2k≤1bk−1m≤1,xb2k≤1
m在b进制下为k位,x在b进制下不大于2k位
所以进行下放缩,两项放缩一项舍去,xm−2 设d=[x/m]d=[x/m]
q3是整数,很容易观察到,d−1≤q3≤dd−1≤q3≤d
q3应该大概率为d
如果q3=d,xmodm=(x−q3m)modmxmodm=(x−q3m)modm
q3=d-1时再减去一个m即可