高中奥数 2022-03-01

H"older不等式:设是正实数,,对任意正实数,有
$\begin{aligned} &\left(a_{11}+a_{12}+\cdots+a_{1m}\right)^{w_{1}}\left(a_{21}+a_{22}+\cdots +a_{2m}\right)^{w_{2}}\cdots \left(a_{n1}+a_{n2}+\cdots +a_{mn}\right)^{w_{n}}\\ \geqslant &a_{11}^{w_{1}}a_{21}^{w_{2}}\cdots a_{n1}^{w_{n}}+a_{12}^{w_{1}}a_{22}^{w_{2}}\cdots a_{n2}^{w_{n}}+\cdots+a_{1m}^{w_{1}}a_{2m}^{w_{2}}\cdots a_{nm}^{w_{n}} \end{aligned}.\qquad(*)$
(即:.)

证明

记,则式为

即.

因为)是向上凸函数(因为),由加权的Jensen不等式,可得
$\begin{aligned} & w_{1} \ln \dfrac{a_{1 j}}{A_{1}}+w_{2} \ln \dfrac{a_{2 j}}{A_{2}}+\cdots +w_{n} \ln \dfrac{a_{n j}}{A_{n}} \\ =& \dfrac{1}{w_{1}+w_{2}+\cdots+w_{n}}\left(w_{1} \ln \dfrac{a_{1 j}}{A_{1}}+w_{2} \ln \dfrac{a_{2 j}}{A_{2}}+\cdots +w_{n} \ln \dfrac{a_{n j}}{A_{n}}\right) \\ \leqslant & \ln \dfrac{w_{1} \dfrac{a_{1 j}}{A_{1}}+w_{2} \dfrac{a_{2 j}}{A_{2}}+\cdots+w_{n} \dfrac{a_{n j}}{A_{n}}}{w_{1}+w_{2}+\cdots+w_{n}} \\ \leqslant & \ln \left(w_{1} \dfrac{a_{1 j}}{A_{1}}+w_{2} \dfrac{a_{2 j}}{A_{2}}+\cdots+w_{n} \dfrac{a_{n j}}{A_{n}}\right). \end{aligned}$
所以 $\left(\dfrac{a_{1 j}}{A_{1}}\right)^{w_{1}}\left(\dfrac{a_{2 j}}{A_{2}}\right)^{w_{2}} \cdots\left(\dfrac{a_{n j}}{A_{n}}\right)^{w_{n}} \leqslant w_{1} \dfrac{a_{1 j}}{A_{1}}+w_{2} \dfrac{a_{2 j}}{A_{2}}+\cdots+w_{n} \dfrac{a_{n j}}{A_{n}}$ ,

把上式对从1到求和,得

从而命题得证.

特别地,当时,有
$\begin{aligned} &\left(a_{11}^{n}+a_{12}^{n}+\cdots+a_{1 m}^{n}\right)\left(a_{21}^{n}+a_{22}^{n}+\cdots+a_{2 m}^{n}\right) \cdots\left(a_{n 1}^{n}+a_{n 2}^{n}+\cdots+a_{n m}^{n}\right) \\ \geqslant &\left(a_{11} a_{21} \cdots a_{n 1}+a_{12} a_{22} \cdots a_{n 2}+\cdots+a_{1 m} a_{2 m} \cdots a_{m n}\right)^{n}.\\qquad(**) \end{aligned}$
在中,取,,有
$\begin{aligned} &\left(a_{11}^{3}+a_{12}^{3}+a_{13}^{3}\right)\left(a_{21}^{3}+a_{22}^{3}+a_{23}^{3}\right)\left(a_{31}^{3}+a_{32}^{3}+a_{33}^{3}\right) \\ \geqslant &\left(a_{11} a_{21} a_{31}+a_{12} a_{22} a_{32}+a_{13} a_{23} a_{33}\right)^{3} .\qquad(***) \end{aligned}$
在中,取,,有

在中,取,有

其中、是正实数,且.当时,即为Cauchy不等式.

在中,令,,,,,则式为

其中,,.

2022-03-01-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P023 例28）

设.

(1)求的最小值;

(2)求的最的最小值.

解

(1)由柯西不等式,得

所以

当,时等号成立.

故的最小值为16.

(2)由(H"older不等式),有

所以
$\begin{aligned} T & \geqslant \dfrac{(a+b+4)^{3}}{(a+b)^{2}}=x+12+\dfrac{48}{x}+\dfrac{64}{x^{2}}(\text { 记 } a+b=x) \\ &=x+\dfrac{64}{x}+\left(\dfrac{64}{x^{2}}-\dfrac{16}{x}+1\right)+11 \\ &=\left(x+\dfrac{64}{x}\right)+\left(\dfrac{8}{x}-1\right)^{2}+11 \geqslant 2 \sqrt{64}+0+11 \\ &=27 . \end{aligned}$
当,时等号成立.

所以的最小值为27.

2022-03-01-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P024 例29）

设,求证:

证明

由平均不等式,得

所以

由(H"older不等式),有
$\begin{aligned} \dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8} &=\dfrac{1}{27}\left(\dfrac{a+b}{2}+b+a\right)\left(b+\dfrac{b+c}{2}+c\right)\left(a+c+\dfrac{a+c}{2}\right) \\ & \geqslant \dfrac{1}{27}\left(\sqrt[3]{\dfrac{a+b}{2} \cdot b \cdot a}+\sqrt[3]{b \cdot \dfrac{b+c}{2} \cdot c}+\sqrt[3]{a \cdot c \cdot \dfrac{a+c}{2}}\right)^{3} \\ & \geqslant \dfrac{1}{27}(\sqrt[3]{\sqrt{a b} \cdot a \cdot b}+\sqrt[3]{\sqrt{b c} \cdot b \cdot c}+\sqrt[3]{\sqrt{c a} \cdot c \cdot a})^{3} \\ &=\dfrac{1}{27}(\sqrt{a b}+\sqrt{b c}+\sqrt{c a})^{3} \end{aligned}$
所以.

2022-03-01-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P025 例30）

设、、是正实数,求证:

证明

对于,与具有相同的符号,所以

即.

于是.

而由(H"older不等式),有

从而命题得证.

2022-03-01-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P025 例31）

幂平均不等式设是正实数,,则

证明

由H"older不等式,令,,有

由,所以上式可以写成

在上式中,令,,得,于是.

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