G‘G展开法等多种求解微分方程方法

1 PDEs转ODEs

偏微分方程
通过变换
成为

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注：这里变换有好多形式.
例如：
此时转化为实部和虚部, 即得到了ODEs(常微分方程组)

2 对于常微分方程求解(待定系数法)

2.1 齐次平衡找到N

最高阶导数项:为N+4
最高阶非线性项:为(N+1)+(N+2)
令最高阶导数项=最高阶非线性项，得 N=1

例1：,
其中最高阶导数项为 , 最高阶非线性项为 ,
根据齐次平衡原则有 , 所以平衡指数为

例2：,
其中最高阶导数项为 , 最高阶非线性项为 ,
根据齐次平衡原则有 , 所以平衡指数为

2.2 给出试探函数

多种假设(这里需要用到齐次平衡)
这里往往已知条件如下：
具有如下的解：

2.3 将假设回代ODEs

求得结果