读书笔记 | 数学通识01 - 数学三大危机

开始学习吴军教授的数学通识课程。里面讲到了数学的第一次危机，比较震撼我。通过看评论也了解到还有几次危机，一时起意就整理一份相关资料，给同样感兴趣的朋友们。

第一次危机

吴军老师讲数学通识就是从毕达哥拉斯定理开始讲的，他认为这是数学的起点。

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯创造的逻辑论证方法奠定了现代科学的方法论。

毕达哥拉斯坚信世界的本源是数字，而数字必须是完美的。整数很完美，而且分数的分子分母也都是整数，不会是零碎的，因此也很完美。

据说毕达哥拉斯的学生希帕索斯提出了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。这一类的数字其实很多，今天它们被统称为无理数。

这一说法严重挑战了毕达哥拉斯的完美数学理论，让他无法自圆其说，这就是数学的第一次危机。

毕达哥拉斯为了维系自己的理论或宗教，把这位学生扔到大海里杀死了，这也成为毕达哥拉斯这位泰斗级人物的一大污点。

第二次危机

牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方。

英国大主教贝克莱提出了有名的「贝克莱悖论」：

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△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的。直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。

第三次危机

十九世纪下半叶，康托创立了著名的集合论。数学家们发现，从自然数与康托集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。

但是，还有罗素悖论。

1902 年，32 岁的英国数学家罗素给病中的康托写了一封信，据说罗素在信里举了一个例子：

村子里有一个理发师，脾气很怪，他工作起来有一条规矩，就是只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。

罗素写信请教康托：这个理发师如果遵循这条原则，那他要不要给自己刮胡子呢？罗素这封信里描述的矛盾后来被称为罗素悖论，也叫做理发师悖论。正是这个悖论挑战了康托的集合论理论，从而带来了数学的第三次危机。

直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。

要点总结

数学理论必须要证明，保证没有例外。