读书笔记 | 数学通识01 - 数学三大危机

开始学习吴军教授的数学通识课程。里面讲到了数学的第一次危机,比较震撼我。通过看评论也了解到还有几次危机,一时起意就整理一份相关资料,给同样感兴趣的朋友们。

第一次危机

吴军老师讲数学通识就是从毕达哥拉斯定理开始讲的,他认为这是数学的起点。

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别:毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯创造的逻辑论证方法奠定了现代科学的方法论。

毕达哥拉斯坚信世界的本源是数字,而数字必须是完美的。整数很完美,而且分数的分子分母也都是整数,不会是零碎的,因此也很完美。

据说毕达哥拉斯的学生希帕索斯提出了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。这一类的数字其实很多,今天它们被统称为无理数。

这一说法严重挑战了毕达哥拉斯的完美数学理论,让他无法自圆其说,这就是数学的第一次危机。

毕达哥拉斯为了维系自己的理论或宗教,把这位学生扔到大海里杀死了,这也成为毕达哥拉斯这位泰斗级人物的一大污点。

第二次危机

牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者,两人的发现思路截然不同;但是两人对微积分基本概念的定义,都存在模糊的地方。

英国大主教贝克莱提出了有名的「贝克莱悖论」:

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△x在作为分母时不为零,但是在最后的公式中又等于零,这种矛盾的结果是灾难性的。直到微积分发明100多年后,法国数学家柯西用极限定义了无穷小量,才彻底解决了这个问题。

第三次危机

十九世纪下半叶,康托创立了著名的集合论。数学家们发现,从自然数与康托集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。

但是,还有罗素悖论。

1902 年,32 岁的英国数学家罗素给病中的康托写了一封信,据说罗素在信里举了一个例子:

村子里有一个理发师,脾气很怪,他工作起来有一条规矩,就是只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。

罗素写信请教康托:这个理发师如果遵循这条原则,那他要不要给自己刮胡子呢?罗素这封信里描述的矛盾后来被称为罗素悖论,也叫做理发师悖论。正是这个悖论挑战了康托的集合论理论,从而带来了数学的第三次危机。

直到1908年,第一个公理化集合论体系的建立,才弥补了集合论的缺陷。

要点总结

数学理论必须要证明,保证没有例外。

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