分治--寻找第k小元素（元素可重复），复杂度O(n)

其他方法:

如果直接对序列排序求最小值，复杂度为nlogn；
如果直接套用快排的思想来做的话，最优情况为O（n），最坏为O(n2)

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分治法的阈值：

我们有一种吊炸天的分治算法，可以用很好的效率求解出某个问题，分治算法当然在达到一个非常小的规模时，会能直接或用很简单的方法得出结论，但是，其实，问题规模在达到某个阈值的时候，用直接朴素的方法解决这个规模的问题的效率，已经比继续分治的算法高了。这个时候，我们在这个阈值就开始选择朴素的方法才是最明智的选择。

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基本思路：

(1) 当规模小于阈值时，直接用排序算法返回结果。
(2) 当n大于阈值时，把n个元素划分为5个元素一组的n/5组，排除剩余元素（不会有影响，这里只是为了求中项mm），分别排序，然后挑出每一组元素的中间值，再在所有的中间值中，递归调用本算法，挑出中间值mm。
(3) 把元素划分为A1、A2、A3三组，分别包含小于、等于、大于mm的元素。
(4)分三种情况：

a.若A1的元素数量大于等于K，即第K个元素在第一组内：在A1中递归查找第k小元素。
b.若A1、A2元素个数之和大于等于K，即中项mm为第K个元素：返回mm
c.否则，第K个元素在第三组：在A3中递归寻找第（k-|A1、A2元素数量之和|）小元素。

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伪代码：

输入  n 个元素的数组 A[1...n] 和整数 k，1 ≤ k ≤ n  
输出  A 中的第 k 小元素  
   
算法描述 select(A, low, high, k)  
1. n ← high - low + 1----（Θ(1)）  
2. if  n < 44 then 将 A 排序 return (A[k])----（Θ(1)）  
3. 令 q =  ⌊n/5⌋。将 A 分成 q 组，每组5个元素。如果5不整除 n ，则排除剩余的元素。----（Θ(n)）  
4. 将 q 组中的每一组单独排序，找出中项。所有中项的集合为 M。----（Θ(n)）  
5. mm ← select(M, 1, q,  ⌈q/2⌉)   { mm 为中项集合的中项 } ----T(n/5)  
6. 将 A[low...high] 分成三组----（Θ(n)）  
    A1 = { a | a < mm }  
    A2 = { a | a = mm }  
    A3 = { a | a > mm }  
7. case  
    |A1| ≥ k : return select(A1, 1, |A1|, k)  
    |A1| + |A2| ≥ k : return mm  
    |A1| + |A2| < k : return select(A3, 1, |A3|, k - |A1| - |A2|)  
8. end case  

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算法分析：

第1-6步的复杂度都很容易理解，我们着重讨论第7步的算法复杂度。

上图是处理到第5步后的元素，从左到右按各组中项升序排列，每组5个元素从下到上按升序排列。
我们需要知道的是第7步时候问题的规模，即A1、A3这两个数组的规模。
上图中我们可以看到W区的元素都是小于或等于mm的，令A1’表示小于或等于mm的元素的集合，显然W会是A1’的子集，即A1’的元素数量大于等于W的元素数量。
于是我们有下面这个式子：

A3的数量=n-A1’的数量，于是我们可以等到下面的式子：

由对称性，可得：

至此，我们知道A1、A3的上界是0.7n+1.2，步骤7耗费的时间是T（0.7n+1.2）。
到这里还没说到44阈值的由来，好，要开始说了。
我们希望去掉1.2这个常数，于是引入底函数帮忙：

即

这条式子什么时候成立呢？解不等式可得n>=44。
阈值44诞生了！！！
现在我们还有了算法运行时间的递推式：
可以算出来T(n)=Θ(n)。
对于求中项的题目也是同样的解法，就是找第（n+1）/2个元素（奇数）和第n/2、n/2+1个元素（偶数）。
需要注意，这个算法的常数倍数（比如c）都是很大的。

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Java代码(未验证)：

public static int select(int[] A, int k){  
        return selectDo(A, 0, A.length-1, k);  
    }  
  
private static int selectDo(int[] A, int low, int high, int k){  
    //select k min number  
    int p = high - low + 1;  
    if(p < 44){  
        Arrays.sort(A, low, high+1);  
        return A[low+k];  
    }  
    //A divided into q groups, each group 5 elements, and sort them  
    int q = p/5;  
    int[] M = new int[q];  
    for(int i = 0; i < q; i ++){  
        Arrays.sort(A, low + 5*i, low + 5*i + 5);  
        M[i] = A[low+5*i+2];  
    }  
    //select mid in M  
    int mid = selectDo(A, 0, q-1, (q-1)/2);  
    //A divided into 3 groups  
    int[] A1 = new int[p];  
    int[] A2 = new int[p];  
    int[] A3 = new int[p];  
    int count1, count2, count3;  
    count1 = count2 = count3 = 0;  
    for(int i = low; i <= high; i ++){  
        if(A[i] < mid)  
            A1[count1++] = A[i];  
        else if(A[i] == mid)  
            A2[count2++] = A[i];  
        else  
            A3[count3++] = A[i];  
    }  
    if(count1 >= k)  
        return selectDo(A1, 0, count1-1, k);  
    if(count1 + count2 >= k)  
        return mid;  
    return selectDo(A3, 0, count3-1, k-count1-count2);  
}