【C++进阶】map和set——中篇（AVL树的学习）
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目录
- 前言
- 1. AVL树
-
- 1.1 AVL树的概念
- 1.2 AVL树节点的定义
- 1.3 AVL树的插入
- 1.4 AVL树的旋转
- 1.5 AVL树的验证
- 1.6 AVL树的性能
- 1.7 AVL树的实现
前言
前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个
共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中
插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此
map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。
1. AVL树
1.1 AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
- 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n)，搜索时间复杂度O( l o g 2 n log_2 n log2n)。
1.2 AVL树节点的定义
template<class T>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const T& data)
: _pLeft(nullptr)
, _pRight(nullptr)
, _pParent(nullptr)
, _data(data), _bf(0)
{}
AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
T _data;
int _bf; // 该节点的平衡因子
};
1.3 AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：
-1，0, 1, 分以下两种情况：
- 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
- 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
- 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
成0，此时满足AVL树的性质，插入成功 - 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新 - 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
行旋转处理
pair<Node*,bool> Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)//根节点为空时先new一个新节点
{
_root = new Node(kv);
return make_pair(_root, true);
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
//先利用while循环去找cur的空位
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return make_pair(cur, false);
}
}
//将cur插入到相应位置
cur = new Node(kv);
Node* newnode = cur;//用一个newnode记录一下新节点用以返回
if (kv.first > parent->_kv.first)
{
parent->_right = cur;//注意三叉链的链接逻辑顺序,等号左右方向不能反，先把cur链接到父节点的右边
cur->_parent = parent;//然后再去把父指针知道父节点
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
//进行旋转调整
//while(cur!=_root)
while (parent)
{
//1.进入循环先对平衡因子进行调整
if (cur == parent->_right)
{
parent->_bf++;
}
else
{
parent->_bf--;
}
//分三种情况向上走
if (parent->_bf == 0)//平衡因子等于0不需要调整
{
//为什么不需调整
//因为等于0的话，说明底层子树高度不平衡，添加进入新元素后平衡了，只要平衡了高度并没发生变化，不会影响上面的父节点
break;
}
else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
{
//平衡因子等于-1，说明插入新节点后子树的高度不平衡了，需要继续往上迭代查看父节点是否还满足平衡节点
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
if (parent->_bf == -2)//父节点等于-2，说明左边高，触发右旋的情况
{
if (cur->_bf == -1)//cur节点等于-1，说明在cur的左边更高，触发右单旋的情况
{
RotateR(parent);
}
else//cur等于-1,说明在cur的右边更高，触发左右双旋
{
RotateLR(parent);
}
}
else//父节点等于1，说明右边更高，触发左旋的情况
{
if (cur->_bf == 1)//cur节点等于1时，说明在cur的右边更高，触发右单旋的情况
{
RotateL(parent);
}
else//cur等于-1,说明在cur的左边更高，触发右左双旋
{
RotateRL(parent);
}
}
//思考：为什么上面在传参数的时候，都是传parent的节点呢？这样的好处是什么呢
break;//调整完成后break退出循环
//这里为什么调整完成过后就可以退出，通过旋转调整平衡因子后，parent节点的平衡因子都为0了，调整过后不需要再向上继续查找了
}
else
{
assert(false);
}
}
return make_pair(newnode,true);
}
1.4 AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
- 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
- 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
- 60可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
void RotateR(Node* parent)//右单旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR != nullptr)//注意:这里一定要判断不为空的，因为下面可能会出现空指针的解引用
{
subLR->_parent = parent;
}
subL->_right = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;//一定要在改变链接关系之前把这个指针存下来
parent->_parent = subL;
//if (parentParent == nullptr)或者采用这个条件也是可以的
if(parent==_root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
//这里注意:parent还有父母时，链接之前需要注意判断到底是右孩子还是左孩子
if (parentParent->_left == parent)
parentParent->_left = subL;
else
parentParent->_right = subL;
subL->_parent = parentParent;//最后还要把父指针关系链接上
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;//最后右单旋完成后平衡因子都要修改成0
}
- 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
和右单旋近似，可以参考代码
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
//先把subR的左孩子赋值给parent的右节点
parent->_right = subRL;
if (subRL != nullptr)//注意一定要判断是否为空的情况
{
subRL->_parent = parent;//然后链接parent指针
}
//然后subR的左节点链接上parent
subR->_left = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;//提前记录
parent->_parent = subR;
//if (parentParent == nullptr)
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentParent->_left == parent)
parentParent->_left = subR;
else
parentParent->_right = subR;
subR->_parent = parentParent;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
- 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);//先进行左旋，并注意旋转点为父节点的左节点
RotateR(parent);//再进行右旋，此时旋转点为父节点
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的
else
{
assert(false);
}
}
- 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;//注意：需要提前存subRL的平衡因子，因为旋转可能引起改变
//subRL的平衡因子是双旋的关键节点
RotateR(parent->_right);//先进行右旋，并注意旋转点为父节点的右节点
RotateL(parent);//再进行左旋，此时旋转点为父节点
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的
else
{
assert(false);
}
}
总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
- pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
– 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
– 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋 - pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
– 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
– 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
1.5 AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
- 验证其为二叉搜索树
– 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 - 验证其为平衡树
– 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
– 节点的平衡因子是否计算正确
void _Inorder(Node* root)//中序遍历打印每个节点
{
if (root == nullptr)
return;
_Inorder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_Inorder(root->_right);
}
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
cout << endl;
}
//验证是否为平衡二叉树
//1.左子树高度与右子树高度差必须小于1
int _Height(Node* root)//求树的高度函数
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);//递归去子问题求解
int rightHeight = _Height(root->_right);
return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 2.检查一下每颗树的平衡因子是否正确
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;
return false;
}
return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);//分别递归到各自的左右子树再去检查
}
bool IsAVLTree()
{
return _IsBalance(_root);
}
1.6 AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
1.7 AVL树的实现
AVLTree.hpp
//
// AVLTree.hpp
// AVLtree
//
// Created by 卜绎皓 on 2022/11/16.
//
#pragma once
#include