定积分及其应用知识点总结_高中数学知识点复习资料归纳整理:定积分和微积分基本定理...

定积分和微积分基本定理

【考纲要求】

1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念及其基本定理。

2.正确计算定积分,利用定积分求面积。

【知识网络】

【考点梳理】

要点一、定积分的概念

定积分的定义:如果函数

在区间

上连续,用分点

将区间

等分成

个小区间,在每个小区间

上任取一点

,作和式

,当

时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数

在区间

上的定积分.记作

,即

,这里,

分别叫做积分下限与积分上限,区间

叫做积分区间,函数

叫做被积函数,

叫做积分变量,

叫做被积式.

要点诠释:

(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;

(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限.

要点二、定积分的性质

(1)

(

为常数),

(2)

(3)

(其中

),

(4)利用函数的奇偶性求积分:

若函数

在区间

上是奇函数,则

若函数

在区间

上是偶函数,则

.

要点三、微积分基本定理

如果

,且

上连续,则

,其中

叫做

的一个原函数.由于

也是

的原函数,其中c为常数.

一般地,原函数在

上的改变量

简记作

.因此,微积分基本定理可以写成形式:

.

要点诠释:

求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算.

要点四、定积分的几何意义

设函数

在区间

上连续.

上,当

时,定积分

在几何上表示由曲线

以及直线

轴围成的曲边梯形的面积;如图(1)所示.

上,当

时,由曲线

以及直线

轴围成的曲边梯形位于

轴下方,定积分

在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;

上,当

既取正值又取负值时,定积分

的几何意义是曲线

,两条直线

轴所围成的各部分面积的代数和.在

轴上方的面积积分时取正号,在

轴下方的面积积分时,取负号.如图(2)所示.

要点五、应用

(一)应用定积分求曲边梯形的面积

1.如图,由三条直线

轴(即直线

)及一条曲线

(

)围成的曲边梯形的面积:

2.如图,由三条直线

轴(即直线

)及一条曲线

(

)围成的曲边梯形的面积:

3.如图,由曲线

及直线

围成图形的面积公式为:

.

4.利用定积分求平面图形面积的步骤:

(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像;

(2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;

(3)写出定积分表达式;

(4)求出平面图形的面积.

(二)利用定积分解决物理问题

①变速直线运动的路程

作变速直线运动的物体所经过的路程

,等于其速度函数

在时间区间

上的定积分,即

.

②变力作功

物体在变力

的作用下做直线运动,并且物体沿着与

相同的方向从

移动到

,那么变力

所作的功

.

【典型例题】

类型一:运用微积分定理求定积分

例1.运用微积分定理求定积分

(1)

;(2)

;(3)

.

【解析】(1)∵

(2)∵

.

(3)∵

【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理,其关键是找出使得

的原函数

。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求

,即利用求导函数与求原函数互为逆运算。

举一反三:

【变式】计算下列定积分的值:

(1)

,(2)

【解析】(1)

(2)

【高清课堂:定积分和微积分基本定理394577典型例题四】

例2.求

【解析】

【总结升华】化简被积函数是积分的前提,直到最简为止.

举一反三:

【变式】计算下列定积分的值.

(1)

;(2)

;(3)

【解析】(1)

(2)

.

(3)

.

例3.求定积分

,求函数

在区间

上的积分;

【解析】

.

【总结升华】当被积式为分段函数时,应分段积分。

举一反三:

【变式】求定积分:

【解析】

类型二:利用定积分的几何定义

例4.求定积分:

【解析】设

,则

表示

个圆,

由定积分的概念可知,所求积分就是

圆的面积,

所以

举一反三:

【变式】求定积分:

【解析】设

,则

表示如图的曲边形,

其面积

,

.

类型三:利用定积分求平面图形面积

例5.求直线

与抛物线

所围成的图形面积.

【解析】如图,由

得,交点

所求面积:

.

【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想,是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是:

(1)画出图形,并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形;

(2)找出相关曲线的交点坐标,即解方程组,确定每个曲边梯形的积分区间(即积分上下限);

(3)确定被积函数,即解决“积什么”的问题,是解题的关键;

(4)写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式;

(5)计算各个定积分,求出所求的面积.

举一反三:

【高清课堂:定积分和微积分基本定理394577典型例题一】

【变式1】由直线

,曲线

轴所围图形的面积为(  ).

A.

B.

C.

D.

【解析】

【答案】D

【变式2】在曲线

上的某点A处作一切线使之与曲线以及

轴所围成的面积为

. 试求:切点A的坐标以及切线方程.

【解析】设点

,则切线

,即

,则

,得点

,即

,解得

.

∴切点

,切线

.

类型四:利用定积分解决物力问题

例6.汽车以每小时32公里的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以匀减速度

米/秒2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离?

【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间,

时,汽车速度

公里/小时=

米/秒

8.88米/秒.

刹车后汽车减速行驶,其速度为

.

当汽车停车时,速度

故从

用的时间

秒.

于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

米.

即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.

【总结升华】解决实际应用问题,解题的关键是弄清事物变化发展的规律,再根据规律变化找到相应的函数式.

举一反三:

【变式1】一物体在力

的作用下,沿着与

相同的方向,从

处运动到

处,求力

所做的功。

【解析】

.

【变式2】一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度

(单位:

)紧急刹车至停止。求:

(1)从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间;

(2)紧急刹车后火车运行的路程。

【解析】(1)由

解得

,因此,火车经过

后完全停止;

(2)

=

巩固练习:

1.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为(  )

A.

B.

C.

D.

2.已知二次函数

的图象如图所示,则它与

轴所围图形的面积为(  )

A.

B.

C.

D.

3.

的大小关系是(   )

A.

B.

C.

D.无法确定

4.下列结论中错误的是(   )

A.

B.

C.

(其中

D.

5.下列定积分值为0的有()

A.

B.

C.

D.

6.已知

为偶函数且

,则

()

A.0B.4C.8D.16

7.定积分

()

A.

B.

C.

D.

8.曲线

与坐标轴围成的面积(    )

A.4

C.

D.3

9.一辆汽车以速度

的速度行驶,这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为(    )

A.

B.1C.3D.27

10.已知自由落体运动的速度

,则落体运动从

所走的路程为(    )

A.

C.

D.

11.

12.

=;

13.设

,则

=;

14.求

.

15.求曲线

轴所围成的图形的面积.

16.求由两条曲线

及直线

所围成图形的面积.

【参考答案与解析】

1.C

【解析】

,故

,

2.B

【解析】根据图像可得:

,再由定积分的几何意义,

可求得面积为

3.A

【解析】

4.D

5.D

【解析】设

在区间

上是奇函数,

6. D

【解析】

为偶函数,则

7. D

【解析】

中的被积函数

恰是一个位于x轴上方的半圆,

其面积为

,故

,又

8.D

9.D

【解析】这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为:

10.C

11.

【解析】

12.

【解析】原式=

13.

14.【解析】

∴原式=

.

.

15.【解析】首先求出函数

的零点:

.

又易判断出在

内,图形在

轴下方,在

内,图形在

轴上方,

所以所求面积为

16.【解析】如图所示,

解方程组容易得到

.

由对称性,所求图形的面积为

轴右侧图形面积的2倍,则图形的面积为:

.

若选

为积分变量,则所求面积为:

.

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